拉格朗日，傅立叶旁，我凝视你凹函数般的脸庞。
微分了忧伤，积分了希望，
我要和你追逐黎曼最初的梦想。

感情已发散，收敛难挡，
没有你的极限，柯西抓狂，
我的心已成自变量，函数因你波起波荡。

低阶的有限阶的，一致的不一致的，
是我想你的皮亚诺余项。
狄利克雷，勒贝格、杨一同仰望莱布尼茨的肖像，
拉贝、泰勒，无穷小量，
是长廊里麦克劳林的吟唱。

打破了确界，你来我身旁，
温柔抹去我，阿贝尔的伤，
我的心已成自变量，函数因你波起波荡。
低阶的有限阶的，一致的不一致的，
是我想你的皮亚诺余项

很久没有在"数学数字"里写东西了，最近做数学实验，嘿嘿，给大家展示一下我找到的自称为“双乳峰”的函数。

这个函数的数学表达式是：z=|x.*exp(-x.^2-y.^2)|
以下是他的函数图形：

这两天一直在思考数域的发展过程，很巧的那天实变函数课上老师又在讲集合，然后出现了一个定义导致我颠覆了以前一直认为理所当然的想法，实感愧疚啊，原来我连那么一个最基本的问题都搞错了，现在对极限论又有了新的认识。

是这样子的。
首先我提一个问题，这种问法也许不太准确，但你应该能明白我的意思，那就是，两个集合，一个自然数集，和一个整数集，哪个集合里的元素更多呢？
大多数人会这么想，虽然他们都是无穷集合，但是整数集里包含一些如，-1,-2,-3....等等这些元素，在自然数集里并不存在，而自然数集里的所有元素在整数集里都能找到，自然数集包含于整数集，所以整数集里的元素当然比自然数集里的多咯。

但是，错了。
一个整数集中的元素，我们可以这样把它和自然数集对应起来(“~”表示“对应着”)：0~0, -1~1, 1~2, -2~3, 2~4,-3~5, 3~6......也就是说，我们可以把整数集里的每一个元素与自然数集对应起来，我们称这种数集为可列的，称这两个数集（可以一一对应的数集）是对等 的。
对于有限集来说，对等的两个数集元素的个数是相同的，但无限集中呢？

无限集中我们用元素的“个数”这个词其实很不准确，但我们可以通过这种方法知道，整数集中的元素不比自然数集的多，虽然他们是“真包含”关系，只能说整数集中元素的种类比自然数集多（多了个负数集）。
添一句，用通俗的不精确的非数学语言说，就是这两个集合里的元素一样多。
同样的方法，我们也可以知道偶数集与整数集也是对等，等等还有很多例子。
最近学实变函数的基本理论的时候还出现了很多反“常识”的东西，老师说：这是给你们的惊喜~
真该换个方式思考问题了，这就是学数学的乐趣。

有1/3+1/3+1/3=1
且有1/3=0.3333....
而0.3333...+0.3333...+0.3333...=0.9999....

嘿，这是为什么？为什么最后一个等式的右边不是1呢？而却是一个看起来好像比1小一点点的无限循环小数呢？

实际上，0.9999...并不是比1小。我在网上查了查，再根据自己的理解，给大家几种很巧妙的证明。

最好想的一个,数论里有一个定理就是任何两个实数之间都间隔无数个实数，而0.999...和1之间呢?你能找出任何一个实数是在它们两个之间吗?很显然不能，所以它们就是相等的

另外，用极限也可以证明的，0.999...极限等于1，即无限逼近于1，还有一条定理是，常数的极限还是常数本身，因此0.999...的极限还是0.999...，而由于0.999...既有极限1，又有极限0.999...，而根据极限的唯一性，可以知道 0.999...=1。

第三，设x=0.999....,有10x-x=9x，并且10x-x=9(即9.999...-0.999...=9)，所以9x=9,所以x=1

上面这些证明需要大家对极限理解，不然可能还是不懂。。。

    什么是莫比乌斯带(Mobius Strip，下简称M带)呢？简单的说，就是一个单侧曲面。第一次接触这个概念是在学习第二型曲面积分的时候，如果你不知道……那就当我没说。一般我们常见到的曲面，都是双侧的，如一张纸，一枚硬币，有两个面，如果把这个面水平放置，那就会有上侧和下侧之分，这种面有一个边界，如果爬在这一面的一只小虫子不夸过它的边界或者把面打穿，那么它就无法看到另外一面；还有没有边界的双侧曲面，如一个球面，想像一个空心球，它有内侧和外侧之分，同样那个虫子想进内侧只能把球弄穿……
    M带制作起来很简单，把一条纸带一头旋转180度后与另外一头相接就是。
    M带我们说它是单侧的，是因为这个把这小虫子放在M带的面上，只要它顺着一个方向爬呀爬，就能把这个带上的每一面都能游览一遍，其实它也只有一个面……


    第一张照片我做的莫比乌斯带，它有一些有趣的性质，如果你把一个没有转过的转过的纸带环（双侧曲面），沿中线剪开，侧是两个分开的环；如果你把一个纸条旋转180度后制成的M带沿带中心线剪开，会是什么样呢，猜一猜。。呵呵，答案将是一条旋转过4*180度后制成的环带。好，那如果把一个旋转2*180度（也就是360度）的环状带沿中线剪开以后会是什么样子呢？（但要注意，此时也不是M带，而且他不是单面曲线，你可以仔细观察一下）嘿。。就是第二张照片所示的，两个各旋转2*180度相互环套的带。嗯，有些人到这里也许敢大胆的猜测如果把一个3*180度和4*180度的带剪开后各会是什么样子，我实际验证了一下，基本和猜想的一样，一个 K*180度的环带剪开后如果K是奇数，那么将会是仍会一条双侧环带面，而K若是偶数则会是两个互相套在一起的双侧曲面环，但是他们缠绕的方式和互相环套的方式就更为复杂化，就像是打了一个节，我就不把问题更复杂和深入了，不然大家和我都会比较累，但大家有兴趣可以自己剪一下，欢迎和我讨论。


    Mobius是第一个发现单侧曲面的人，单侧曲面的发现加深了人们对几何学的理解，也解释了以前一些数学定理的不全面性，就像所有的数学理论一样，最 初我们也许无法理解，但随着时间的推移人们总是可以发现这些数学理论在现实中的应用，对我印像比较深的是数论，数论的理论在很早以前就有，曾被人们认为最 无用的数学，但是近几十年人们才把它应用在计算机领域。而这个Mobius strip呢，在工程学上，有人把它用在磁带上，就可以让，磁条两面都记录数据，有个发明一种用像M带一样的传送带，这样延长了传送带寿命，因为使它的每 一面都可以均匀受力。然后，还有在美术上，音乐上，物理学，都有了M带的发挥的地方。