原码、反码、补码、“温故而知新”  
        以前好像数字电路里当基础知识学过，一直到后来学单片机都用到，现在在自学DSP的过程中，又遇到这个最基础的问题。一扯到2进制我就发晕，总是觉得不那么习惯。现在作了个总结，希望以后再不会在这个问题上感到困惑。

1综述：
数在计算机中是以二进制形式表示的。有两种办法表示实数：
一种是定点，就是小数点位置是固定的。一般都默认小数点在最后一位数的右方，表示整数。
一种是浮点，就是小数点位置不固定。浮点数采用 底数+尾数 的格式，其实就是所说的科学记数法。小数点在底数的最左面，尾数表示实际应将小数点向左(尾数为+)或向右(-)移动的位数。

数又分为有符号数和无符号数。
原码、反码、补码都是有符号定点数的表示方法。
有符号数的最高位为符号位，0是正，1是负。

2 原码、反码、补码
原码就是这个数本身的二进制形式。如：00000001 就是+1 10000001 就是-1。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
例子：
+1011
原码：01011
反码：01011 //正数时，反码＝原码
补码：01011 //正数时，补码＝原码

-1011
原码：11011
反码：10100 //负数时，反码为原码取反
补码：10101 //负数时，补码为原码取反＋1

+0．1101
原码：0.1101
反码：0.1101 //正数时，反码＝原码
补码：0.1101 //正数时，补码＝原码

-0．1101
原码：1.1101
反码：1.0010 //负数时，反码为原码取反
补码：1.0011 //负数时，补码为原码取反＋1

3关于0的问题：
数0的原码有两种形式： [+0]原=00000000B          [-0]原=10000000B
数0的反码有两种形式： [+0]反=00000000B          [-0]反=11111111B
数0的补码是唯一的       ： [+0]补=[-0]补=00000000B

假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,
原码和反码能表示数值的范围为：
(-127~-0 +0~127)共256个，其中都有两个0
在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:
(-128~0~127)共256个，负数128个，0和正数128个。
注：其中(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)

4下面是原码、反码进行运算时遇到的问题（0的问题）：
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,

如下: 假设字长为8bits
( 1 ) 10-       ( 1 )10 =       ( 1 )10 + ( -1 )10 =       ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

       因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反

码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:
( 1 )10 -       ( 1 ) 10=       ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10=       ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反 =       (11111111)反 =       ( -0 )       有问题.
( 1 )10 -       ( 2)10 =       ( 1 )10 + ( -2 )10       =       ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 =       (11111110)反 =       ( -1 ) 正确

这个问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的。所以有两个表示的0不适合计算机的运算。

在补码中用(-128)代替了(-0)，统一正0和负0
补码的加减运算如下:
( 1 ) 10-       ( 1 ) 10=       ( 1 )10 + ( -1 )10 =       ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 =       (00000000)补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) 10-       ( 2) 10=       ( 1 )10 + ( -2 )10 =       ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110) 补=       (11111111)补 = ( -1 )       正确

5补码记数法中的运算规则

补码中符号位要与有效值部分一起进行运算。
两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。
例如：加0111和1011结果是0010（0111+1011=10010，舍去最左边的1，结果为0010，长度保持4位）

采用2的补码记数法的机器需要知道的只是如何去加和求反就够了。
[X＋Y]补= [X]补＋ [Y]补
[X－Y]补= [X]补＋ [－Y]补
若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。例如：[Y]补= 101101 [－Y]补= 010011

例如，减法问题7-5与加法问题7+（-5）是相同的。
因此，如果机器被请求从7（存储为0111）中减5（存储为0101），它首先将5改变为-5（表示为1011），
然后执行0111+1011的加法过程取得0010，它表示2。

7补码与原码的相互转换过程是相同的。
已知一个数的补码，求原码的方法是：
（1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
（2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作是：符号位为1，其余各位取反，然后再末位加1。
例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位

1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。
所以，求补码的运算可以使原码和补码互相转换。一个原码的补码的补码还是他本身。

8总结
所以补码的意义就在于：
（1）补码统一正0和负0
（2）补码中符号位要与有效值部分一起进行运算。
（3）使减法运算转换为加法运算。 [a-b]补=[a]补+[-b]补

附录：

补码的身世——“模”的概念：
“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：
　　时钟的计量范围是0～11，模=12。
　　表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指数】

　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为

加法运算。
例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：
　　　一种是倒拨4小时，即：10-4=6
　　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6
在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位)，但因只有8位，

最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2(8)。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的

补数表示就可以了。
把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。