【例题1】乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？

【解答】（8/15）

乙数是甲数的2/3，把甲数看作单位1，乙数就是2/3；丙数是乙数的4/5，也就是说丙数是2/3的4/5，“求一个数的几分之几是多少”用乘法，即2/3×4/5＝8/15，丙数是8/15，甲数是1，所以丙数是甲数的8/15。

【练习1】乙数是甲数的3/4，丙数是乙数的6/7，丙数是甲数的几分之几？

【解答】（9/14）

乙数是甲数的3/4，把甲数看作单位1，乙数就是3/4；丙数是乙数的6/7，也就是说丙数是3/4的6/7，“求一个数的几分之几是多少”用乘法，即3/4×6/7＝9/14，丙数是9/14，甲数是1，所以丙数是甲数的9/14。

【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？

【解答】（1600米）

思考一：第一周修了8000×1/4＝2000米，第二周修了2000×4/5＝1600米。

思考二：第二周占全长的1/4×4/5＝1/5，第二周修了8000×1/5＝1600米。

【练习2】一堆黄沙30吨，第一次用去总数的1/5，第二次用去的是第一次的2/3，第二次用去黄沙多少吨？

【解答】（4吨）

思考一：第一次用去30×1/5＝6吨，第二次用去6×2/3＝4吨。

思考二：第二次用去的占总数的1/5×2/3＝2/15，第二次用去30×2/15＝4吨。

【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？

【解答】（300页）

第一天看了后剩下1－1/4＝3/4，第二天看的是余下的2/5，第二天看的占总页数的3/4×2/5＝3/10，第二天比第一天多的占总页数的3/10－1/4＝1/20，即总页数的1/20是15页，所以总页数是15÷1/20＝300页。

【练习3】加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9。已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？

【解答】（1500个）

甲加工了之后剩下的是这批零件的1－2/5＝3/5，乙加工的是余下的4/9，即乙加工了这批零件的3/5×4/9＝4/15，乙加工的比甲少的占零件总数的2/5－4/15＝2/15，即这批零件的2/15是200个，这批零件就有200÷2/15＝1500个。

【例题4】甲乙两数之和是28，甲数的1/3等于乙数的1/4，甲数是多少？

【解答】12

关键是算出甲乙两数之间的关系，利用乘法交换律来看，“甲数×1/3＝乙数×1/4”中，把甲数看作1/4，乙数就是1/3，乙数就是甲数的1/3÷1/4＝4/3。根据乙数是甲数的4/3，我们把甲数看作单位1，乙数就是4/3，甲乙两数的和就相当于甲数的4/3＋1＝7/3，这样知道了甲数的7/3是28，就可以算出甲数是28÷7/3＝12。

【练习4】甲乙两班的人数相差28人，甲班人数的3/4等于乙班人数的2/5，乙班有多少人？

【解答】60人

利用乘法交换律，可以把甲班人数看作2/5，乙班人数则是3/4，甲班人数是乙班的2/5÷3/4＝8/15。根据甲班人数是乙班的8/15，可以把乙班人数数看作单位1，甲班人数则是8/15，两班人数差就是乙班的1－8/15＝7/15，也就是说乙班人数的7/15是28人，那么乙数是28÷7/15＝60人。

【例题5】甲的钱数是乙的2/3，乙的钱数是丙的3/4，甲乙丙的钱数和是216元，丙是多少元？

【解答】96元

把丙的钱数看作单位1，乙的钱数是3/4，甲的钱数则是3/4×2/3＝1/2，三人钱数的和是丙的钱数的1＋3/4＋1/2＝9/4，也就是说丙的钱数的9/4是216元，可以得出丙的钱数是216÷9/4＝96元。

【练习5】今年甲的年龄是乙的5/6，乙的年龄是丙的3/4，甲的年龄比丙小15岁，今年甲是多少岁？

【解答】25岁

把丙的年龄看作单位1，乙的年龄就是3/4，甲的年龄就是3/4×5/6＝5/8，甲的年龄比丙小的部分是丙的1－5/8＝3/8，也就是说丙的年龄的3/8是15岁，可以得出丙的年龄是15÷3/8＝40岁，甲的年龄就是40×5/8＝25岁或40－15＝25岁。

牛吃草问题（三）

工程问题解法

牛吃草问题和工程问题都与时间有密切的联系，牛吃草问题中，用相同头数的牛去吃新长的草，剩下的牛去吃原有的草，由于剩下的牛的头数不同，吃原有草的时间就不同，根据原有草不变，我们假设它为单位1，不同的牛单位时间所吃的草可以用分数表示，然后利用分数进行计算，这就是工程问题解法的基本思想。

【题目1】一牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，27头牛6天可以吃完；23头牛9天可以吃完，若21头牛，几天可以吃完？

【分析与解答】（12天）

【分析】由于草在不断匀速生长，我们让相同的一部分牛去吃新长的草，剩下的牛就吃原有的草。

设每天吃新长草的牛的头数用“□”来表示，原有草看作单位1。

27头牛时，就有“27－□”头牛吃原有草，6天就吃完了，这剩下的牛每天就能吃原有草的1/6。

23头牛时，就有“23－□”头牛吃原有草，9天才能吃完，这剩下的牛每天就能吃原有草的1/9。

比较两次的情况：吃原有草的牛的头数相差（27－□）－（23－□）＝4头牛，每天吃的草相差的部分占原有草的1/6－1/9＝1/18，则每头牛每天吃的占原有草的1/18÷4＝1/72。

要我们解决的问题的21头牛多少天吃完，21头牛里面有“21－□”头牛吃原有草，它比23头牛时，吃原有草的牛少（23－□）－（21－□）＝2头，每天就要少吃原有草1/72×2＝1/36。

那么21头牛时，剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/36＝1/12，所以草场可供21头牛吃1÷1/12＝12天。

【解答】每头牛每天可以吃原有草的（1/6－1/9）÷（27－23）＝1/72，21头牛剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/72×（23－21）＝1/12，因此可供21头牛吃1÷1/12＝12天。

【板书】

吃原有草的头数   时间     每天吃原来的

27－□     6      1/6

（相差4头）            （相差1/18）

23－□     9      1/9

（相差2头）            （相差1/36）

21－□    12    1/12

【题目2】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以匀速的速度减少，经测算牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

【分析与解答】（10天）

【分析】由于草在不断匀速减少，如果不减少，就需要增加相同的一部分牛去吃那部分草，这样就用增加后的牛去吃原有的草。

设每天吃减少草的牛的头数用“□”来表示，原有草看作单位1。

30头牛时，就有“30＋□”头牛吃原有草，8天就吃完了，每天就能吃原有草的1/8。

25头牛时，就有“25＋□”头牛吃原有草，9天才能吃完，每天就能吃原有草的1/9。

比较两次的情况：吃原有草的牛的头数相差（30＋□）－（25＋□）＝5头牛，每天吃的草相差的部分占原有草的1/8－1/9＝1/72，则每头牛每天吃的占原有草的1/72÷5＝1/360。

要我们解决的问题的21头牛多少天吃完，需要“21＋□”头牛吃原有草，它比25头牛时，吃原有草的牛少（25＋□）－（21＋□）＝4头，每天就要少吃原有草1/360×4＝1/90。

那么21头牛时，牛增加后，每天可以吃原有草的1/9－1/90＝1/10，所以草场可供21头牛吃1÷1/10＝10天。

【解答】每头牛每天可以吃原有草的（1/8－1/9）÷（30－25）＝1/360，21头牛剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/360×（25－21）＝1/10，因此可供21头牛吃1÷1/10＝10天。

【板书】

吃原有草的头数   时间     每天吃原有草的

30＋□     8      1/8

（相差5头）            （相差1/72）

25＋□     9      1/9

（相差4头）            （相差1/90）

21＋□    10    1/10

【题目3】库存有一定的水量，河水每天均匀进入水库。如果用5台抽水机连续抽水20天可以将水抽干，如果用6台同样的抽水机连续抽15天也可以将水抽干。现在要求10天将水抽干，则需要多少台同样的抽水机？

【解答】（8台）

把库存的水看作单位1，每台抽水机每天能抽库存水（1/15－1/20）÷（6－5）＝1/60，要使10天将水抽干，每天可抽库存水的1/10，比6台抽水机多抽库存水的1/10－1/15＝1/30，需要增加1/30÷1/60＝2台。即需要6＋2＝8台同样的抽水机才能在10天抽干。

【题目4】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走16级，女孩每分走12级，结果男孩用了4分到达楼上，女孩用了5分到达楼上。问该扶梯露在外面的部分共有多少级？

【解答】（80级）

男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的1/4－1/5＝1/20，相差16－12＝4级，因此自动扶梯露在外面的部分共有4÷1/20＝80级。

【题目5】有一片牧场长满了牧草，牧草每天还在匀速生长。这片牧场可供17只羊吃15天，或19只羊吃12天。现有若干只羊在吃草，6天后有8只羊卖掉了，余下的羊又吃了2天，问原来有多少只羊？

【解答】（26只）

变形：8只羊吃6天的草，相当于6只羊吃8天的草。

每增加1只羊可以多吃原有草量的（1/12－1/15）÷（19－17）＝1/120，8天吃完比12天吃完每天要多吃1/8－1/12＝1/24，说明8天吃完比19只羊多1/24÷1/120＝5只羊，即19＋5＝24只。调整只数，得出原来只数是24－6＋8＝26只羊。

【题目6】一片牧草，如果让马和牛去吃45天将草吃尽；如果让马和羊去吃60天将草吃尽；如果让牛和羊去吃90天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马牛羊一起去吃草几天可以将这片牧草吃尽？

【解答】（36天）

把原有草量看作单位1，都让一部分吃新长草，则有马牛剩下部分每天可吃原有草的1/45；马羊剩下部分每天可吃原有草的1/60；牛羊剩下的部分每天可吃原有草的1/90。则马牛羊剩下部分每天可吃原有草的1/45＋1/60－1/90＝1/36，需要1÷1/36＝36天。

【解答】杨门虎将老师的解法：

填上数后，101的倍数最小是3007275，最大是3997277。

因为9999是101的倍数，3007275每增加9999，则前面的□□就增加1，末尾的□□就减少1，前面的□□从00～99，后面的从75～00～99～77。不会出现76，所以末两位是76时，

【解答】这题先统一面积，使之成为同一块草地。假设为7公顷的草地，可供90÷3×7＝210头牛吃36天，可供160÷4×7＝280头牛吃24天。

              吃原有草的牛             牛的总头数          吃草的天数

                     140        2                210                 36        3  

                   （70）                     （70）

                    210          3               280                  24        2

                   （30）                     （30）

                   180                           250                  28——（140×36÷180＝28）

牛吃草问题（二）

比例解法

在解答牛吃草问题时，我们通常让一部分的牛专门去吃新长的草，其余的牛去吃原有的草，当把原有的草吃完的时候，所有的草就被吃完了。这里我们就可以利用“原有草量一定，牛的头数和吃的时间成反比例”，这样一个规律来解答牛吃草问题。

例1 一牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，27头牛12天可以吃完；23头牛18天可以吃完，若21头牛，几天可以吃完？（24天）

12   3    27－□   12   2

相差4   相差4     

8   2     23－□   18   3     

相差2   相差2

6          21－□       ？  

【解答】27头牛里面分“□”头牛出来吃新长的草，23头牛也分“□”头牛来吃新长的草，剩下的牛吃原来的草。原有草量就可以表示成“（27－□）×12”或者“（23－□）×18”，由于原有草量一定，那么吃原有草的牛头数和时间就成反比例。则因为两次所吃的时间比是12：18＝2：3，那么吃原有草的牛头数比是3：2。我们用“27－□”和“23－□”来表示吃原有草的牛，头数比就是3：2，因为“27－□”和“23－□”相差4头，则3份和2份相差4头，则每份就是4头，所以27头牛时，有3×4＝12头牛吃原有草，23头牛时，有2×4＝8头牛吃原有草。设每头牛每天吃1份，那么原有草量就是12×12＝8×18＝144份草。（也可以计算出每天有27－12＝15头牛去吃新长的草。）

当算出原有草量后，我们可以看看21头牛中有多少头牛去吃原有草呢？21－15＝6头牛去吃原有草。21头牛吃完所有的草需要144÷6＝24天。

【练习1】牧场上长满牧草，每天牧草都在匀速生长。这片牧场可供23头牛吃48天，或者供27头牛吃36天。问可以供29头牛吃几天？（32天）

12   3    23－□   48   4

相差4   相差4     

16   4    27－□   36   3     

相差2   相差2

18         29－□      ？
【解答】时间比48：36＝4：3，头数比是3：4，相差27－23＝4头，则第一次吃原有草的牛有4×3＝12头，第二次吃原有草的牛有4×4＝16头，第三次吃原有草的头数有29－27＋16＝18头。所以29头牛可以吃12×48÷18＝32天。

【例2】现将一池水全部抽干，但又有水匀速流入。若28台抽水机16天抽干，或33台抽水机12天抽干，问10天抽干水要几台抽水机？（37台）

15   3    28－□   16   4

相差5   相差5     

20   4    33－□   12   3     

相差4   相差4

24         ？－□       10
【解答】时间比是16：12＝4：3，头数比是3：4，相差33－28＝5台，则第一次抽原有水的抽水机有5×3＝15台，第二次有5×4＝20台，原有水15×16＝20×12＝240份，第三次抽原有水的抽水机就有240÷10＝24台，则实际需要24－20＋33＝37台。

【练习2】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，39台抽水机连续24天可抽干；48台同样的抽水机连续18天可以抽干，若要求12天抽干，需要多少台同样的抽水机？（66台）

【解答】时间比是24：18＝4：3，头数比是3：4，相差36－27＝9台，则第一次抽原有水的抽水机有9×3＝27台，第二次有9×4＝36台，第三次抽原有水的抽水机就有24×27÷12＝54台，则实际需要54－36＋48＝66台。

【例3】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以匀速的速度减少，经测算牧场上的草可供38头牛吃35天，可供28头牛吃42天，那么可供62头牛吃几天？（25天）

【解答】时间比是35：42＝5：6，头数比是6：5，相差38－28＝10头，如果草不减少，则第一次吃原有草的头数需要10×6＝60头，第二次有10×5＝50头，第三次有62－28＋50＝84头，那么可供62头牛吃42×50÷84＝25天

【练习3】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以匀速的速度减少，经测算牧场上的草可供66头牛吃72天，可供57头牛吃81天，那么可供多少头牛吃54天？（93头）

【解答】时间比是72：81＝8：9，头数比是9：8，相差66－57＝9头，如果草不减少，则第一次吃原有草的头数需要9×9＝81头，第二次有8×9＝72头，如果草不减少，54天吃原有草需要81×72÷54＝108头，实际需要108－（81－66）＝93头。

【练习4】有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？（42头）

【变形】把前两块草地都看成面积是120亩，240头牛可以吃30天，224头牛吃45天，多少头牛可以吃80天，然后再将得数除以5是多少头？

【解答】天数比30：45＝2：3，吃原有草的牛的头数比3：2，头数相差240－224＝16头，第一次吃原有草的头数有3×16＝48头，第二次吃原有草的头数有2×16＝32头牛，第三次吃原有草的头数有48×30÷80＝18头，实际吃完120亩需要240－（48－18）＝210头。则吃24亩需要210÷5＝42头。

【练习5】某海港货场不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走，如果用19辆车，12小时可以清场；如果用18辆车，16小时也可以清场。该场开始只用13辆车，4小时后增加了若干辆车，再过4小时清场，那么后来增加的车数应是多少辆？（16辆）

4     19      12     3

3     18      16     4

6    21      8   

（21－13）×2＝16辆。

【解答】这个题如果顺向思考，就特别复杂，我们逆向思考，把不能进位的个数找出来，我们再从2004个数中减少这么多个，就是满足条件的了。

8866加一个数，如果不发生进位，千位上只能是0和1，百位上也只能是0和1，十位上只能是0～3，个位也是0～3，所有不进位的情况共有2×2×4×4－1＝63种，为什么减去1呢，因为四位数字都选0时的0000这个数不存在。

所以至少发生一次进位的数有2004－63＝1941个数。

【解答】这个题的基本思想是从总的排列中去掉相邻的排列就行了。

五个同学共有5×4×3×2×1＝120种排法

其中两人相邻的共有4×3×2×1＝24种排法

则其中两人不相邻的排法共有120－24＝96种。

【解答】此题方法很多，谈谈分类讨论。

甲不排第一个位置，则第一个位置可以是乙、丙、丁

当乙排第一个位置时有以下3种排法：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丁甲丙

当丙和丁排第一个位置时同样分别有3种排法，因此共有3×3＝9种不同的排法。