牛吃草问题（三）

工程问题解法

牛吃草问题和工程问题都与时间有密切的联系，牛吃草问题中，用相同头数的牛去吃新长的草，剩下的牛去吃原有的草，由于剩下的牛的头数不同，吃原有草的时间就不同，根据原有草不变，我们假设它为单位1，不同的牛单位时间所吃的草可以用分数表示，然后利用分数进行计算，这就是工程问题解法的基本思想。

【题目1】一牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，27头牛6天可以吃完；23头牛9天可以吃完，若21头牛，几天可以吃完？

【分析与解答】（12天）

【分析】由于草在不断匀速生长，我们让相同的一部分牛去吃新长的草，剩下的牛就吃原有的草。

设每天吃新长草的牛的头数用“□”来表示，原有草看作单位1。

27头牛时，就有“27－□”头牛吃原有草，6天就吃完了，这剩下的牛每天就能吃原有草的1/6。

23头牛时，就有“23－□”头牛吃原有草，9天才能吃完，这剩下的牛每天就能吃原有草的1/9。

比较两次的情况：吃原有草的牛的头数相差（27－□）－（23－□）＝4头牛，每天吃的草相差的部分占原有草的1/6－1/9＝1/18，则每头牛每天吃的占原有草的1/18÷4＝1/72。

要我们解决的问题的21头牛多少天吃完，21头牛里面有“21－□”头牛吃原有草，它比23头牛时，吃原有草的牛少（23－□）－（21－□）＝2头，每天就要少吃原有草1/72×2＝1/36。

那么21头牛时，剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/36＝1/12，所以草场可供21头牛吃1÷1/12＝12天。

【解答】每头牛每天可以吃原有草的（1/6－1/9）÷（27－23）＝1/72，21头牛剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/72×（23－21）＝1/12，因此可供21头牛吃1÷1/12＝12天。

【板书】

吃原有草的头数   时间     每天吃原来的

27－□     6      1/6

（相差4头）            （相差1/18）

23－□     9      1/9

（相差2头）            （相差1/36）

21－□    12    1/12

【题目2】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以匀速的速度减少，经测算牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

【分析与解答】（10天）

【分析】由于草在不断匀速减少，如果不减少，就需要增加相同的一部分牛去吃那部分草，这样就用增加后的牛去吃原有的草。

设每天吃减少草的牛的头数用“□”来表示，原有草看作单位1。

30头牛时，就有“30＋□”头牛吃原有草，8天就吃完了，每天就能吃原有草的1/8。

25头牛时，就有“25＋□”头牛吃原有草，9天才能吃完，每天就能吃原有草的1/9。

比较两次的情况：吃原有草的牛的头数相差（30＋□）－（25＋□）＝5头牛，每天吃的草相差的部分占原有草的1/8－1/9＝1/72，则每头牛每天吃的占原有草的1/72÷5＝1/360。

要我们解决的问题的21头牛多少天吃完，需要“21＋□”头牛吃原有草，它比25头牛时，吃原有草的牛少（25＋□）－（21＋□）＝4头，每天就要少吃原有草1/360×4＝1/90。

那么21头牛时，牛增加后，每天可以吃原有草的1/9－1/90＝1/10，所以草场可供21头牛吃1÷1/10＝10天。

【解答】每头牛每天可以吃原有草的（1/8－1/9）÷（30－25）＝1/360，21头牛剩下的牛每天可以吃原有草的1/9－1/360×（25－21）＝1/10，因此可供21头牛吃1÷1/10＝10天。

【板书】

吃原有草的头数   时间     每天吃原有草的

30＋□     8      1/8

（相差5头）            （相差1/72）

25＋□     9      1/9

（相差4头）            （相差1/90）

21＋□    10    1/10

【题目3】库存有一定的水量，河水每天均匀进入水库。如果用5台抽水机连续抽水20天可以将水抽干，如果用6台同样的抽水机连续抽15天也可以将水抽干。现在要求10天将水抽干，则需要多少台同样的抽水机？

【解答】（8台）

把库存的水看作单位1，每台抽水机每天能抽库存水（1/15－1/20）÷（6－5）＝1/60，要使10天将水抽干，每天可抽库存水的1/10，比6台抽水机多抽库存水的1/10－1/15＝1/30，需要增加1/30÷1/60＝2台。即需要6＋2＝8台同样的抽水机才能在10天抽干。

【题目4】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走16级，女孩每分走12级，结果男孩用了4分到达楼上，女孩用了5分到达楼上。问该扶梯露在外面的部分共有多少级？

【解答】（80级）

男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的1/4－1/5＝1/20，相差16－12＝4级，因此自动扶梯露在外面的部分共有4÷1/20＝80级。

【题目5】有一片牧场长满了牧草，牧草每天还在匀速生长。这片牧场可供17只羊吃15天，或19只羊吃12天。现有若干只羊在吃草，6天后有8只羊卖掉了，余下的羊又吃了2天，问原来有多少只羊？

【解答】（26只）

变形：8只羊吃6天的草，相当于6只羊吃8天的草。

每增加1只羊可以多吃原有草量的（1/12－1/15）÷（19－17）＝1/120，8天吃完比12天吃完每天要多吃1/8－1/12＝1/24，说明8天吃完比19只羊多1/24÷1/120＝5只羊，即19＋5＝24只。调整只数，得出原来只数是24－6＋8＝26只羊。

【题目6】一片牧草，如果让马和牛去吃45天将草吃尽；如果让马和羊去吃60天将草吃尽；如果让牛和羊去吃90天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马牛羊一起去吃草几天可以将这片牧草吃尽？

【解答】（36天）

把原有草量看作单位1，都让一部分吃新长草，则有马牛剩下部分每天可吃原有草的1/45；马羊剩下部分每天可吃原有草的1/60；牛羊剩下的部分每天可吃原有草的1/90。则马牛羊剩下部分每天可吃原有草的1/45＋1/60－1/90＝1/36，需要1÷1/36＝36天。