答案,的确挺复杂的:

Fuxiang    Yu    sent    in    a    much    improved    solution    to    this    puzzle:    Link    to    pdf

Most    of    the    submited    solutions    demonstrated    the    fundamental    challenge    of    this    problem:    How    do    you    prove    something    that    seems    obviously    true?    The    problem’s    simplicity    and    the    intuitive    “obviousness”    of    the    conclusion    lead    many    responders    down    dead    end    paths.    Some    suggested    using    trigonometric    functions    to    prove    triangle   ABC    equilateral,    but    none    of    the    other    triangles    present    are    implicitly    “right”    triangles.    Others    began    with    the    assumption    that    triangles   ADF,   BED,    and   CFE    were    congruent,    which    cannot    be    assumed,    but    rather    needs    to    be    proved.   
Here    is    our    solution.    Click      for    the    IBM    techexplorer    version.   

Our    earlier    posted    solution    follows.    We    proceed    by    breaking    into    cases.    Let    the    sides    of   DEF    have    length   x,    and    the    line    segments   AD,   BE,    and   CF    have    length   y.    The    form    of    our    solution    will    depend    on    the    value    of    y/x.    We    begin    with    some    special    cases.    The    following    Diagram    is    referenced    for    Case    1    &    2.



Case    1,    when    y/x    =    2/SQR3   

In    this    case    the    largest    value    possible    for    angle   A    would    be    60°    --when    angle   ADF    =    90°    (see    diagram).    Since   AD    =    BE    =    CF,    this    holds    true    for    triangles   BED    and   CFE    as    well.    In    this    case    then,    since    angles   A,   B,    and   C    must    sum    to    180°    ,    they    must    all    be    60°,    and   ABC    equilateral.   

Case    2,    when    y/x    >    2/    SQR3   

In    this    case,    as    x    grows    smaller    (or    y    larger,    or    both)    Angle   A    only    grows    smaller    (see    diagram).    Again,    since    this    is    occuring    equally    throughout    triangle   ABC    (AD    =    BE    =    CF,    and    triangle   DEF    is    equilateral),    angles   A,   B,    and    C    must    be    under    60°,    which    makes    it    very    difficult    for    them    to    sum    to    180°.    So    case    2    is    not    possible.   

Case    3,    when    y/x    =    1,    or    when    triangle    ADF    is    isosceles.   

For    convenience,    lable    the    angles    as    follows:   ADF    =    beta,    FAD    =    A,    DFA    =    gamma,    CFE    =    delta,    and   BED    =    epsilon.    We    know    that    gamma    =   A    =    90°    -    beta    /    2.    This    implies    that    delta    =    180°    -    (gamma    +    60°).    Substituting    (90°    -    (beta    /    2))    for    gamma,    we    get    delta    =    (beta    /    2)    +    30°.    Similarly,    epsilon    =    (delta    /    2)    +    30°,    and    beta    =    (epsilon    /    2)    +    30°.    The    system    of    linear    equations    has    the    unique    solution    beta    =    >A    =    gamma    =    delta    =    epsilon    =    60°.    in    particular   A    =    60°    ,    and    the    same    argument    implies    that    all    three    angles    of    the    large    triangle    are    60°    and    it    is    therefore    equilateral.   

Case    4,    when    0    <    (y/x)    <    1   

Consider    fixed    values    of   x,   y    with    0    <   y    <   x.    Concentrate    first    on    the    triangel   DAF,    where    we    label    the    angles    as    in    case    3    above    and    two    sides    are    fixed    at   FD    =    x,    DA    =    y.    Let    beta    range    from    0°    to    180°    and    notice    what    happens    to    A    and    gamma.    As    beta   increases,    AF   increases    (by    the    law    of    cosines),    and   A    decreases    from    180°    to    0°.    By    the    law    of    sines,    gamma    at    first    increases    from    0°,    but    when   A    hits    90°,    gamma    starts    decreasing    (if    plotted    on    a    graph,    gamma’s    range    would    describe    a    parabola).
So    there    is    exactly    one    value    of    beta,    call    it    beta    0,    which    makes   A    =    60°.    Let    the    angles    in    this    case    be    called   A0    =    60°    and    gamma0    =    180°    -    beta    0    -   A0.    We    would    have    delta0    =    180°    -    60°    -    gamma0    =    beta0.    Then    each    angle    of    the    large    triangle    is    60°    and    it    is    equilateral.   
Suppose    that    all    three    angles    beta,    delta,    epsilon,    are    smaller    than    beta0.    Then    each    of    the    three    angles   A,   B,    and   C    is    larger    than    60°,    and    so    can’t    sum    to    180°.   
The    only    other    possibility    is    when    the    largest    of    the    three,    say    beta,    is    larger    than    beta0.    Then   A    <   A0    =    60°    <    90°    so    that    gamma    <    gamma0    ,    and    delta    =    180°    -    60°    -    gamma    is    also    larger    than    beta0    .    By    the    same    argument,    epsilon    >    beta0    .    Then    each    of    the    three    angles   A,   B    and   C    is    smaller    than    60°    ,    and    again    they    can’t    sum    to    180°.   
So,    in    this    case,    the    only    consistent    conclusion    is    when    beta    =    beta0    and    the    large    triangle    is    equilateral.   

Case    5,    when    1    <    (y/x)    <    2    /    SQR3   

This    last    case    is    somewhat    easier    than    #    4    above.    Consider    a    movable    triangle    as    before,    but    remember    that   y    >   x    .    So    as    beta    grows    from    0°    to    180°,    we    notice    that    gamma    shrinks    from    180°    to    0°,    and    delta    grows.    This    means    that    beta,    delta,    epsilon    must    all    be    the    same;    if    delta    were    larger    than    beta,    than    (by    monotonicity)    epsilon    would    be    larger    than    delta,    and    beta    would    be    larger    still,    which    would    yield    a    contradiction.    If    beta,    delta,    and    epsilon    are    the    same,    then    by    side-angle-side,    the    three    triangles   ADF,   CFE,    and   BED    are    congruent,    so    the    outer    angles   A,   B,    and   C    are    equal,    and    the    large    triangle    is    equilateral.   

意思是：
从我们有这题开始，很多兄弟提交了他们的答案。这个几何题看上去大的三角形显然就是等边三角形，以为很简单，不行的，告诉你不行的，这样是不行的。也有一些弟兄假设△ADF，△BED和△CFE全等，但这些假设都是没有根据的，哎，没办法下面我们只能给出一下比较差劲的证明。
我们这个早前（差劲）的证明是这样的，假设△DEF的边为x，这条边分割AD、BE和CF。AD=BE=CF的长度y。我们解决问题的方向主要是根据y/x的值的情况来穷举的。共有下面几种情况，第一，第二种情况请参照图解。
（这是我作的说明，第一、二种情况的y不是AD的长度，而是AF的长度参照图，第三种情况后，y所指长度才为AD。让我费解。）

第一种情况：y/x=2/SQR3    (2除以根号3)
这种情况的出现，最大的可能是∠A=60°、∠ADF=90°；又因为AD=BE=CF，所以△BED全等于△CFE,三角形的内角和为180°，所以△ABC的每个角都为60°，这种情况下是△ABC等边三角形。
第二种情况：y/x >2/SQR3
这种情况的引起为：x变小或y变大，或同时x变小和y变大。由此可推出∠A变小，（看图，不明的再看图，再看图。哈哈）又因为△EDF为等边三角形且AD=BE=CF，那么∠A和∠B与∠C都小于60°（三角形的内角和等于180°），这种情况可能吗？。故这种情况是不可能出现的。
第三种情况：y/x=1或都可以说△ADF为等腰三角形
为方便起见，我们先来些标记∠ADF=∠β、∠FAD=∠α、∠DFA=∠γ、∠CFE=∠δ、∠BED=∠ε这样我们得到∠γ=∠α=(180°-∠β)/2=90°-∠β/2;∠δ=180°-(∠γ+60°),将∠γ代入得到∠δ=(∠β/2)+30°,同样的得到∠ε=(∠β/2)+30°    和∠β=(∠ε/2)+30°
由这些方程式可以得到∠β= >∠α=∠γ=∠δ    =∠ε=    60°.    从而求证到∠α=60°,同理可证其它二个角也为60°因此这个△ABC大三角形是全等三角形。
后两情况兄弟们自己看着办吧。。。。。
第四种情况：0    <    (y/x)    <    1   
                 。。。。
第五种情况：1    <    (y/x)    <    2    /    SQR3