辽宁师范大学 梁宗巨

　　华达哥拉斯(Pythagoras) 约公元前560年生于萨摩斯岛(Samos，小亚细亚西岸)；约公元前480年卒于梅塔蓬图姆(Metapontum，今意大利半岛南部塔兰托附近)．哲学、数学、天文学、音乐理论．

　　毕达哥拉斯与中国孔子(公元前551—前479年)同时．他早年曾在锡罗斯岛(Syros，在爱琴海中)向费雷西底(Pherecydes)学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安纳西曼德(Anaximander)．以后游历埃及、巴比伦等地(一说到过更远的印度)，接受古代流传下来的天文、数学知识．回到家乡以后，开始讲学，未见成效．公元前520年左右，为了摆脱波利克拉底(Polycrates)的暴政，和母亲及唯一的一个门徒离开萨摩斯岛，移居西西里岛，最后定居在克罗托内(Crotone，意大利半岛南端)．在那里广收门徒，建立一个宗教、政治、学术合一的团体．他的讲学吸引了大量的听众，包括各个阶层的人特别是社会上层的人士．当时妇女是被禁止出席公开会议的，毕达哥拉斯打破这个界限，允许她们听讲．在热心的听众中有房主米洛(Milo)的女儿西雅娜(Theano)，绮年玉貌，后来成为他的妻子，还给他写过传记，可惜已失传．

　　毕达哥拉斯将信徒们分为两等．一等是普通的听讲者，这是大多数．他们只能听讲，不能发问，更不能参加讨论，高深的知识是不向他

这就是欧洲文字“数学”(拉丁文mathematica、英文mathematics、德文Mathematik等等)一词的来源．

　　这个学派的组织是很严密的，带有浓厚的宗教色采．每个成员都要接受长期的训练和考核，遵守很多清规戒律，宣誓永不泄露学派的秘密和学说，在学术上要达到一定的水平．加入组织还要通过一系列的神秘仪式，以求达到“心灵的净化”．他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体．数学是教义的组成部分．他们不仅认为万物都包含数，而且万物都是数，宣称上帝用数来统御宇宙．这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别．

　　学派的成员有共同的哲学信仰和政治理想，训练是严格的，食物是简单的．学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从．他们起初在大希腊(Magna Graecia，今意大利南部一带)赢得很高的声誉，产生过相当大的政治影响，但却引起敌对派的忌恨．后来受到民主运动风暴的冲击，毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆，终于被暴徒杀害．在克罗托内的活动场所连续遭到破坏，许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯(Phlius，伯罗奔尼撒半岛东北部)重新建立据点，也有些人到塔兰托去，继续进行数学、哲学研究以及政治活动，直到公元前4世纪中叶．这个学派繁荣兴旺达一个世纪以上．

　　毕达哥拉斯本人没有留下什么著作，而学派内部的发明创造是秘而不宣的，外人鲜知其详．不过也有少数通过各种途径流传开来．以后组织渐渐分散，保密的教条被放弃，才出现一些公开讲述这个学派教义的著作．第一本这类的书是学派的晚期成员菲洛劳斯(Philolaus)在公元前370年左右写的，当时柏拉图等人曾看到过，现今只残留片断，其内容偏重哲学，数学的记载不多．此后许多学者开展毕达哥拉斯的研究，他的思想和学说逐渐为人们所知．

　　毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原．研究数的目的不是为了实际应用，而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理．他们对数作过深入的研究，并得到很多结果，但常常将数和迷信奇特地结合起来．他们注意到数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系．把整个学习课程分为四大部分：1．数的绝对理论——算术；2．数的应用——音乐；3．静止的量——几何；4．运动的量——天文．合起来叫做“四道”(quadrivium，四条道路，或“四艺”)，这名称一直沿用到中世纪．后来又加上文法、修辞、逻辑，合称“七艺”．中国古代有“四术”(诗、书、礼、乐)、“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之说，堪与媲美．

　　毕达哥拉斯发现一根拉紧的弦弹出一个音调，比方说是do，那么

成等差数列，那么原来这三个数就叫做调和数列．这就是调和数列名称的起源．同样，取原长的3/4，弹出的音是fa．总的来说，如果两弦紧张的程度(张力)相同，长度为简单的整数比时，奏出来就是和谐悦耳的乐音．这原理对管乐(笛、箫之类)也是适用的，不过情况较为复杂，因为声波的波长并不严格地正比于管长，还和管的粗细有关．

　　根据“简单整数比”的原理，这个学派创造了一套音乐理论，1，2，3，4这头四个自然数，按4∶3，3∶2，2∶1的比构成几个主要的音调，而这四个数的和是10．于是他们认为10是一个完美的数，称之为“四数组”(tetractys)，用来表示，作为神圣的象征，10同时成为宣誓时的誓词．后来斯皮尤西波斯(Speusippus，柏拉图的外甥，公元前347—前339年是柏拉图学园的领导人)指出10包含点、线、面、体各种类型的数：1是点，2是线，3是三角形，4是四面体．这更增加了10的神秘性．这是他们的信条“一切事物都按数来安排”的又一例证．

　　他们认为偶数是阴性的，奇数是阳性的．偶数可以分为相等的两部分，而奇数只能分成不相等的两部分．按照这个定义，1既不是奇数也不是偶数．5是第一个阴性数2与第一个阳性数3之和，所以是结婚的象征．

　　毕达哥拉斯特别厌恶17这个数，它正好在16与18之间．而16与 18是仅有的两个数(自然数)，它同时等于一个矩形(包括正方形)的面积与周长．边长是4的正方形面积与周长都是16，边长是3，6的矩形面积与周长都是18．容易证明不可能有别的自然数具有这种性质．事实上，设矩形的两边是x，y，解不定方程

　　x只可能取3，4，6，对应的y是6，4，3．xy只可能是16和18．

　　晚期的希腊学者如尼科马霍斯(Nicomachus of Gerasa)等对这一类数的神秘主义仍然很迷恋，在他的《算术入门》(Introduc-tio Arithmetica)一书中大力宣扬数的神秘性和神圣性．他虽然后于毕达哥拉斯好几个世纪，但他的思想和学说却比较全面地反映毕达哥拉斯学派的本来面目．更晚的伊安布利霍斯(Iamblichus，约250—330)也是如此，将数说得玄妙莫测，他们被后人称为新毕达哥拉斯学派．

　　在欧几里得的《几何原本》(Elements)中，卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ讲的是数论，毕达哥拉斯的理论有许多在这里得到了反映．不过完全摈弃了神秘的色彩，所有的论断都给出了严格的证明．

　　如果一个数等于除它本身以外的全部因子之和，这个数叫做完全数．例如

6=1＋2＋3，28=1＋2＋4+7＋14，

　　6，28就是完全数．完全数的发现，是毕达哥拉斯学派卓越贡献之一．尼科马霍斯给出四个完全数6，28，496，8128，并指出一般规律：若1＋2＋2²+…+2ⁿ=P是素数，那么2ⁿP就是完全数．这在欧几里得《几何原本》中已有证明(卷Ⅸ命题36)．道理很简单，因为2ⁿP能被下列各数整除：

1，2，…，2ⁿ，P，2P，…，2^n-1P．

　　 除此以外，不能被任何小于它本身的数整除，而这些除数(因子)之和为

1＋2＋…+2ⁿ＋P＋2P+…+2^n-1P=P＋P(2ⁿ-1)=2ⁿP．

　　证明中用到等比数列的求和公式

1+2＋2²＋…+ 2^n-1=2ⁿ-1，

　　这公式曾在毕达哥拉斯学派的著作中出现．据此推测毕达哥拉斯本人可能已经知道完全数的这一性质：如果2ⁿ-1是素数，那么2^n-1(2ⁿ-1)就是完全数．尼科马霍斯提到的4个完全数是6=2(2²-1)，28=2²(2³-1)，496=2⁴(2⁵-1)，8128=2⁶(2⁷-1)．

　　2ⁿ-1类型的数，17世纪时M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾详加研究．由毕达哥拉斯开创的完全数研究，至今还有很多问题没有解决．

　　和完全数有关的还有亲和数．毕达哥拉斯发现，284这个数除它本身外的所有因子之和等于220，而220除它本身外的所有因子之和又等于284，即

　　220=1+2+4＋71+142，

　　284=1+2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110。

　　这一对数叫做亲和数，象征着友谊．当别人问及“朋友是什么”时，毕达哥拉斯回答说：“是另一个我(Alter ego)”，可用亲和数来表示．

　　两千多年之后，P．de费马(Fermat，1601—1665)才找到第二对亲和数17296和 18416．1750年，L．欧拉(Euler，1707—1783)写出62对亲和数(包括以前知道的)．现在已经知道上千对亲和数．

　　毕达哥拉斯很注意形与数的结合，许多论断既是数的关系，也是形的关系．他把算术中的单位叫做“没有位置的点”，而几何中的点叫做“有位置的单位”．

　　形数(figurate num-ber)是形与数的结合物．用点子排成图1所示图形．每一个图的点数叫做三角数，第1个三角数是1，第2个三角数是1+2=3，第3个三角数是1＋2＋3=6，…，第n个三角数是

　　毕达哥拉斯大概已经知道这个公式，后来出现在尼科马霍斯的书中．同样(图 2)的点数1，4，9，16，…，n²，…叫做平方数．平方数可以看作从1起连续奇数之和，如图3所示：

1＋3+5+7＋9+11=6²．

　　一般地说，作出平方数n²的图形之后，再镶上一个曲尺形的边，点数是2n+1，就得到下一个平方数．即

n²＋(2n＋1)=(n+1)²．

　　曲尺形叫做磬折形(gnomon)，这字的原意是指一根直立的杆，观测日影的位置以定时刻，也就是日晷．后来和水平尺连起来，构成一个画直角的工具，同时也可以测日影．在中国叫做“矩”，它的用处很大，现今仍然是木工不可或缺的器具．在欧几里得《几何原本》中，磬折形的意义有所推广，它指在平行四边形的一个角上截去一个相似的平行四边形后所剩下的图形，如图4的阴影部分．后来再进一步推广．

　　类似地，可用点子排出五角数(图5)，六角数(图6)等等．

　　五角数是1，5，12，22，35，…

　　六角数是1，6，15，28，45，…

　　知道五角数(或六角数)的某一项，用镶边的办法可以得下一项．这一点从图形看得很清楚．所镶的边，仍然叫做gnomon，当然意义是推广了的．

　　这一类数列现在可归入高阶等差数列的范围．毕达哥拉斯本人及其学派开展了研究，但究竟深入到什么程度，很难确知．

　　传统的说法，一致认为勾股定理是毕达哥拉斯发现的，因此西方叫做毕达哥拉斯定理，这几乎是家喻户晓的．还传说他为了庆祝这伟大的胜利，宰了一头牛来祭神．这传说不大可信，因为他们的教义是极力反对以动物特别是牛作牺牲的，有的作者还肯定他们是素食主义者．

　　经过仔细的研究，现在有充分的证据表明巴比伦人在汉穆拉比(Hammurabi，约公元前1700年)时代已经知道这一定理．特别是O．诺伊格鲍尔(Neugebauer)等人1945年诠释了巴比伦泥板“普林顿322”，更肯定了这一结论．那上面列有15组“毕达哥拉斯数”(即满足x²＋y²=z²的整数)，最大的一组斜边是18541，一个直角边是12709．令人惊讶的是时间竟早了一千多年！毕达哥拉斯本人曾到过巴比伦，很可能从那里学来．不过从他们欣喜若狂的情况来看，也不排除重新发现的可能性，或者是找到了证明的方法．

　　对于勾股定理，现在至少有三种不同的理解，当然表达方式也不同：

　　1．在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．

　　这就是欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题47．注意这里讲的纯粹是几何图形之间的关系，完全不牵涉到数的问题．所谓相等，是指拼补相等，即将两个正方形剖分为若干块，可以拼凑成斜边上的大正方形．

　　2．直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积．

　　图形的面积是一个数，定理指出两个数的和等于第三个数．应注意欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算．

　　3．直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．

　　长度是数，数的平方还是数，定理讲的是数与数之间的关系．并不考虑数的平方的几何意义．

　　这三种提法的意义是不同的，第一种不妨称为“形的勾股定理”，后两种称为“数的勾股定理”．毕达哥拉斯当时怎样理解这个定理？根据他对于数的认识，似乎应该是第一种．这个学派虽然发现了不可通约量，但拒绝承认无理数是数．就拿最简单的等腰直角三角形来说，设直角边是1，如果数的勾股定理成立，斜边长度的平方应该是2，于是出现什么数的平方是2的问题．也就是要回答“斜边的长度是多少？”当他们进一步了解到任何数(他们所知道的有理数)都不是斜边的长时，必定会大惑不解．因此很难说他们已经建立了数的勾股定理．至于他们怎样发现这个定理，又怎样去证明它，后人倒作了一些合乎情理的推测．

　　这个学派曾研究过铺地砖的问题．像图7那样用等腰直角三角形来铺地是常见的．不难看出，△ABC的直角边上的两个正方形合起来正好是斜边上的正方形．受此启发，自然会推想对于非等腰的直角三角形这关系也能成立．

　　任给△ABC(图8)，各边为 a， b， c．以a＋b为边完成□CD，它由4个全等的△和C边上的□III拼成．如果将△移动一下位置，立刻看出□CD也可以由4个△和a，b上的两个□I，□II拼成图9．从而得到

□III=□I+□II．

　　毕达哥拉斯的证法也许和这个类似．