数学家是将咖啡转变成定理的机器。   ——爱多士

   任何一个喜欢旅行的人都会羡慕这个人的，除了推销员、导游、外交官、空姐以外，他可能是在天上逗留时间最久的人。没有固定的职业和收入，却成天住宾馆，吃饭店，自有人替他埋单。他是一个十足的神童，拥有一副举世无双的头脑，后来成为历史上最丰产的数学家，在许多领域都作出了开创性的贡献。他就是传记《我的大脑敞开了》主人公——匈牙利人保罗·爱多士(Paul Erdos)。1960年代初他来北京，见到了中国数学家华罗庚，而此书的译者之一王元，当时是华罗庚的助手和合作者，却跑到上海看朋友去了。将近30年以后，爱多士再次来中国，不仅见到了王元，还到济南参加一个学术会议。我那时正好在泉城读研究生，一个阴沉沉的秋日下午，我们两人在山东大学留学生楼的一间套房里，关起门来讨论数学问题。

   记得爱多士当时写给我的，是某一类数论函数的均值估计问题。我没有做出来，却研究出了另一类数论函数的均值估计，那是北京大学的潘承彪教授带给我的，这类数论函数均值估计的先驱人物也是爱多士。准确地说我改进了他和一位叫阿拉底(K.Alladi)的印度数学家合作的结果。不仅早早发表在《科学通报》上，提前获得了硕士学位，而且借此夺得了山东大学首届研究生论文比赛的头名。尽管如此，我没有成为爱多士数1（与爱多士合作发表论文。爱多士数2就是与爱多士数1的人合写论文而未直接与爱多士本人合写过论文的人，依次类推可得爱多士数3，爱多士数4，……），这是我的终身遗憾。新世纪的第一个春天，我在日本九州岛参加一次数论会议，阿拉底来了，爱多士却已故世。阿拉底如今是美国佛罗里达大学教授。那次会议期间，他除了学术报告以外，还应邀为福冈大学的学生做了一次公众演说，讲他的同胞数学天才拉马努金(S.Ramanujan)的故事，也讲爱多士的故事。

   阿拉底是得到过爱多士帮助的年轻数学家之一。1974年，当阿拉底还是马德拉斯大学的学生时，就对一些数论问题进行了研究，并提出了自己深刻的见解，连身为马德拉斯数学研究所所长的父亲都无法解答。后来，在朋友们的建议之下，阿拉底写信给爱多士。由于爱多士长年旅行在外，他将信寄到匈牙利科学院。令人惊讶的是，阿拉底很快收到了爱多士的回信，告诉他不久要到加尔各答讲学，问他能不能去那里会面。不巧阿拉底要参加一次重要的考试，只好央求他的父亲代劳。当阿拉底所长介绍完他和他儿子，爱多士用诚恳的语气说，“我对父亲没有兴趣，但对儿子有兴趣。”

   爱多士决定去见见这个年轻人，那时他计划好了要去澳大利亚，因而只得重新安排行程，以便在马德拉斯作短暂的逗留，那里离开加尔各答有1300多公里。当阿拉底在加尔各答机场迎接心目中的数学大师时，有点忐忑不安，可是爱多士开口就吟诵一首有关马德拉斯的歌谣，这让他大为放松，然后他们就开始讨论起数论问题。爱多士被阿拉底的天分感动，当即为阿拉底写了一封推荐信。不到一个月，阿拉底就得到了洛杉矶加州大学的校长奖学金，一位未来数学家的道路就这么铺就了。而爱多士自己在马德拉斯演讲所得的报酬，则全部捐献给了拉马努金的遗孀。爱多士从未见到过拉马努金和他的妻子，但他学生时代就为这位天才美丽的方程式所感动，正是这种感动导致了他对印度的终身兴趣和对印度数学家的不懈支持。

   匈 牙 利 神 童

   1913年3月26日，爱多士出生在多瑙河畔的布达佩斯，就像爱尔兰作家乔伊斯（J.Joyce）的小说《尤利西斯》的主人公布卢姆一样，双亲都是匈牙利犹太人。虽然以色列奉行的对外政策长期以来并不被世界人民所一致接纳，可是犹太人在经济、科学、文化和艺术领域的杰出贡献却是有目共睹的。仅仅在匈牙利科学界，20世纪就有冯·诺伊曼(J.von Neumann)，数字计算机和博弈论的发明者；特勒(E.Teller)，氢弹之父；冯·卡门(T.von Kármán)，超音速飞机之父；赫维希(G.de Hevesy)，同位素跟踪技术的发明者。在艺术领域，则涌现出了钢琴家索尔蒂(G.Solti)和塞尔(G.Szell)，指挥家多拉蒂(A.Dorati)和奥曼迪(E.Ormandy)，作曲家巴托克(B.Bartok)和柯达里(Z.Kodály)，设计大师莫霍伊-纳吉(L.Moholy-Nagy)、娱乐业巨子福克斯(W.Fox)、制片人克迪斯(M.Kurtisz)和电影导演祖可(A.Zukor)等， 以至于有人戏称布达佩斯为“犹达佩斯”(Judapest)。

   爱多士的父母是帕兹马尼大学数学系的同学，婚后父亲在一所中学里任教。其时在奥匈二元君主政体统治了半个世纪以后，匈牙利的经济和文化业已达到了辉煌的顶点。就在他的母亲住进医院准备分娩的时候，一场可怕的猩红热席卷了布达佩斯。等到她带着保罗从医院回到家里，他的两个姐姐已经死去，伤心透顶的双亲便将他们全部的爱与精力都倾注到这个灰眼睛的男孩身上。当保罗刚满三个月，奥匈帝国王储斐迪南（ F.Ferdinand）在萨拉热窝遇刺身亡，引发了第一次世界大战。奥匈帝国向塞尔维亚宣战，紧接着俄国也卷了进来，向奥匈帝国宣战。这场战争意味着匈牙利黄金时代的结束。保罗的父亲应征入伍，他很快就被俄军俘虏，在西伯利亚度过了六年的铁窗生活。

   这一情景使我想起19世纪中叶，匈牙利诗人裴多菲（S.Petofi）也被俄军所俘，七年后因患肺结核死于西伯利亚。所幸老爱多士从西伯利亚集中营活过来了，当他返回布达佩斯时，保罗已是一个漂亮的小男孩，他的犹太式家庭教育也开始了。数学当然是核心课程，但外语也有着同等重要的地位。除了德语以外，父亲把在西伯利亚为驱散严寒和饥饿学会的法语和英语也传授给他。可是，与几乎所有的匈牙利人一样，爱多士的英语带有浓厚的口音，对这一点我本人记忆犹新，据说所有有关爱多士的纪录片都对他的讲话配上了字幕。作为一名中学教师，爱多士的父亲所能教给儿子的自然是有关整数性质的数论知识，尤其那些被称作是“原子”的素数。而爱多士本人也和大多数数学神童一样，对素数发生了无法驱散的兴趣，从欧几里得《几何原本》里提到的素数有无穷多个，直到包括孪生素数猜想在内的两个相邻素数之间的间隔。

   与大多数神童一样，爱多士的生活能力并不强，11岁那年，他终于学会了自己系鞋带，第一次进了学校，并且一下子就上了六年级。尽管学校里严格的课堂纪律使爱多士**的心智受到了压抑，他的成绩仍在班里名列前茅，唯一没有取得A的科目是绘画。当时他最喜欢的课是历史，并且终生保持了这一爱好。促使爱多士把兴趣转向数学的是一本叫《中学数学》的杂志，那上面提供一些挑战性的题目，并且把优胜者的照片刊登其上。这些问题有许多是数论领域的，父亲先期教育的效应得以显示出来，小爱多士的照片很快被刊登出来，这份杂志一直伴随着他读完中学。尽管当时反犹主义猖獗，“名额控制法”将犹太人的大学入学率限制在总数的6%，爱多士仍被布达佩斯大学录取，在那里他遇到了不少从前在杂志上见到过的模糊面孔，爱多士的数学之舟开始扬帆了。

求 学 英 伦

   1934年9月，年仅21岁的爱多士登上了火车，第一次离开了匈牙利，这是他无数次数学之旅中的头一回。此前几个月，他刚刚在双亲的母校——帕兹马尼大学获得了博士学位，英国的曼彻斯特大学向他提供了一笔100英镑的奖学金。可是，爱多士并不能享受旅途的愉快，相反，他感到有些疲惫，甚至不知道如何在火车上对付一日三餐及其他琐事。唯有数学技艺的交流给他带来乐趣，路过瑞士他第一次敞开了大脑，在苏黎世拜访了一位数学家。10月1日早晨，爱多士永远记着这一天，他乘坐的火车抵达剑桥，来不及参观这所举世闻名的大学城，他又一次敞开了大脑，与两位前来迎接的数学同行来到三一学院作长时间的学术探讨。然后，他们在一起共进午餐，同行们这才发现，爱多士还从来不会在面包片上涂抹黄油。

   在对剑桥大学作了短促的访问以后，爱多士继续坐火车来到曼彻斯特。这座如今以足球闻名于世的城市，那时还只获得过两次甲级联赛冠军和一次足总杯冠军，并且这个成绩也是在上个世纪初取得的。可是，曼彻斯特大学的数学研究中心却早已名声在外，由于欧洲大陆日渐上升的紧张气氛，它吸引了众多的外国访问者前来讲学或合作研究。事实上，当时欧洲大陆的知识分子还没有想要移民到大西洋彼岸的美国，曼大数学系主任莫德尔（L.Mordell）教授本人就是个美国人，他中学毕业后好不容易才凑足路费来到英伦求学，经过刻苦的奋斗成为知名的数论学家。以莫德尔命名的猜想的解决最终导致了费马大定理的证明，并且在后面那个证明得到确认之前，前一项工作一直被认为是上个世纪数论领域所取得的最重要成就。

   在曼彻斯特逗留期间，爱多士和一位德国数学家以及莫德尔的中国学生柯召合作撰写过一篇组合理论方面的论文，包括著名的爱多士-柯-拉多定理。可是，由于当时的数学界对组合理论缺乏兴趣，这项工作迟至1961年才得以发表，立时成为一篇经典文献。柯召先生是我的老乡，他刚刚谢世，在他80岁生日的宴会上，我们曾在成都用地道的浙江方言做过交谈。柯召在曼彻斯特取得博士学位后返回祖国，一直在四川大学和重庆大学执教，爱多士第一次来中国正是应他的邀请，他和华罗庚作为仅有的两位数论学家同时当选为中国科学院的首批学部委员。

   在英伦的四年期间，爱多士并不满足于待在一座城市，事实上，他几乎没有连续一个星期在同一张床上睡过觉，总是敞开着大脑，穿梭于曼彻斯特、剑桥、布里斯托尔、伦敦或其他大学城之间。那个时候，青年爱多士的工作已显露出独特的个性：游戏、灵敏和原创。例如，他猜想，一个正方形可以分割成若干个大小不等的正方形，直到40多年以后，才有人证明了这些小正方形的最少个数为21。而在二次大战期间，有一位叫塔特（W. Tutte）的英国青年，就因为研究爱多士的这个猜想取得成绩而被推荐去参与一项秘密的军事计划。结果他们找对了人，塔特成功地破译了德国潜水艇艇长们发出的电码，使得盟军顺利截获和捣毁了敌方的物质供应船只，从而大大缩短了战争的进程，这大概是英国邀请爱多士访问获得的最好报偿。  

奇异的旅行者

1929年10月24日，纽约股票出现猛跌的那个黑色星期一，导致了长达十年之久的全球经济大恐慌，直到第二次世界大战爆发后，在战争的刺激下才有所恢复。就在那个黑色星期一到来前一个多月，美国第四大零售连锁店班伯格（Bamberger）公司的老板，凭着敏锐的洞察力，把公司转让了出去。此后，或许是出于内疚的心理，班伯格兄妹拜访了著名的教育家弗莱克斯纳（A.Flexner）医生，后者建议他们放弃捐献一座医学院的冲动。如同毕达哥拉斯学园那样，弗莱克斯纳设想了一个知识分子的伊甸园，“一个安全的避风港，科学家和学者在这里把世界和它的种种现象作为他们的实验对象，而他们不会被强行卷入近期的旋涡中”。所谓“近期旋涡”指的是纳粹德国和法西斯主义引发的那场灾难，其时正失控地在世界范围内蔓延。

   这就是普林斯顿高等研究院的来历，爱因斯坦是被邀请来的首席教授。所有终身教授都被免除了作为人的种种烦恼，包括交水电费在内的家务活计，填写申请基金之类的各类表格，甚至发表论文或向上司汇报工作等等。换句话说，一旦进入了研究院，你就得到了充分信任，可以依据自己的兴趣做任何研究。事实上，相当一部分时间，数学家和理论物理学家们在修剪得整整齐齐的草坪上散步，在公共客厅里喝咖啡闲聊或没完没了地下棋。尽管如此，他们却作出了惊人的贡献，常常是一生最好的工作，比如英国数学家怀尔斯（A.Wiles），七年没有发表一篇论文，最后完成的是费马大定理的证明。这些现象表明，弗莱克斯纳医生对人类文明的贡献一点也不亚于另一位医生——精神分析学家弗洛伊德(S.Freud)。

   1938年夏天，爱多士从英国回到匈牙利过暑假。9月初，刚刚吞并奥地利的希特勒要求合并苏台德地区，这是捷克斯洛伐克讲德语的一个地区。爱多士被震惊了，就在这个时候，普林斯顿向他伸出了橄榄枝，邀请他做访问学者。24岁的爱多士与亲戚朋友（这些人中相当一部分后来死于战争）匆匆告别，乘上火车，向南绕道潘诺尼亚平原、意大利和瑞士来到巴黎，最后抵达伦敦。月底，爱多士乘坐“玛丽女王”号前往纽约，转道新泽西，迈出了世界之旅的坚实一步。爱多士一直认为，他初到普林斯顿那年是他学术生涯最为成功的一年。例如，他证明了任意多个连续正整数之积不会是一个完全平方数，这个结论再次使人相信数字结构的有序性。又如，他和波兰人卡茨（M.Kac）得到了爱多士-卡茨定理，说的是小于N的整数所含的不同素因子个数与一枚硬币抛N次正面向上的次数遵守同样的曲线分布，这个结论表明整数规则的表面背后实际上隐藏着混乱。

   可是，爱多士喜欢并擅长的那类数学问题在当时并不受重视，原因是它们和近期数学的发展趋势没有关系。而在爱多士看来，他原前精通的数学仍然蕴涵着无穷的宝藏，那为什么不去继续开采它呢？何况那些问题是数学中最美丽的部分。正如他的一位合作者所分析的，“爱多士的想象力和技巧是如此的深刻，不用走出太远，就能开辟出一条永不干涸的溪流。而其他人由于想象力不够深技巧不够精，只好通过更多的数学，才能产生想法和新的定理。”无论如何，年轻的爱多士还是没有被普林斯顿续聘，这让他愤愤不平。当伊甸园的大门在他身后关上时，爱多士不得不又开始了新的数学之旅，从那以后，他便成了真正的数学游子。但他心胸宽阔，战后仍经常光临普林斯顿，正是在那里他凭借初等方法证明了古老的素数定理。这些非凡的工作为他赢得了未来的沃尔夫奖。

各式各样的数学家

   有一次，爱因斯坦的助手斯特劳斯（E.Straus）教授谈到他的担忧，“一个人可能会在某些问题上耗尽精力，却始终不能发现关键所在。”爱因斯坦自己也认为，他之所以没有成为数学家是因为这个领域充满了漂亮而困难的问题。爱多士却义无返顾地深入到爱因斯坦所惧怕的诱惑之中，而他的确也从未陷入不切要害的泥潭里。他们分别使我想起17世纪的两位天才人物——费马（P. de Fermat）和牛顿，前者全身心地投入到纯粹的数论问题中，后者发明了微积分、三大运动定律和万有引力定律而成为历史上最有影响力的科学家。尽管如此，斯特劳斯认为，“在探索真理的征途中，唐璜式的爱多士和加拉哈式的爱因斯坦各有用武之地。”遗憾的是，在我解决了最初那类均值估计问题以后，一位前辈学人也因循传统的观念，告诉我爱多士的那类工作都是小问题，这一友善的“忠告”使我没有坚定地沿着自己擅长的方向走下去。直到费马大定理被证明以后，包括王元先生这样的有识之士才认识到，数论学家应该回到爱多士开启的轨道上来。

   爱多士是一位苦行僧，他放弃了尘世的享乐和物质追求而去过一种殚尽竭虑却又不被人们理解的生活。他和牛顿一样，终生没有结婚，甚至没有谈过恋爱，但那不是数学的缘故，而可能是先天的体格原因。即使最轻微的身体接触也会让他敬而远之，当陌生人跟他握手时，他最多也就是用其柔软的手与对方擦一下，即便那样他也会感到不舒服，会一整天强迫自己洗手。并不是没有女人喜欢他，而是关键时刻他都会逃之夭夭。可是，究竟是什么使得数学让爱多士如此陶醉而又如此憔悴呢？除了前面提到的游戏、灵敏和原创性以外，数学无时不在的挑战性像鸦片一样刺激着爱多士的神经，他的大脑始终敞开着，还有一对机警的耳朵，素数定理的初等证明和哥尼斯堡七桥问题的推广这两项工作就是道听途说和电话线里被他捕捉到的。

   罗素（B.Russell），一位有过四次婚姻，一生留下许多风流韵事的数学家兼哲学家（他的秘密情人中包括诗人艾略特(T.Eliot)的妻子），部分是由于他的文笔优美、雅俗共赏而意外地成为诺贝尔文学奖得主，年轻时也非常迷恋数的世界，并写诗赞叹，“我曾渴望读懂人们的心窝。/我曾渴望知道星星为什么闪烁。/我曾试图了解毕达哥拉斯的神力，/有了它，数字不再摇曳不定。”罗素出身贵族，其祖父两度出任英国首相，三岁的时候父母双亡，他在祖母的严格管教下长大，接受了清教徒式的训练，少年时代一度萌生了自杀的念头，正是数学使他摆脱了青春期的孤独和绝望。虽然后来转向了哲学研究，但终其一生，罗素从数学中获益匪浅，他与怀特海（A. Whitehead）合作的哲学名著的标题就叫《数学原理》，该书对逻辑实证主义的观点进行了新的解释，同时为哲学研究提出了新目标和新问题。

   与爱多士同时代的匈牙利数学家冯·诺伊曼也是一位活力四射的人物。他是通才的样板，在数理逻辑、集合论、连续群、遍历性理论、量子力学和算子理论方面取得了卓越的成就，同时，他又是现代电子计算机和博弈论之父，在物理学和经济学领域有着巨大的影响力。连爱多士也不得不承认，冯·诺伊曼的反应速度和理解力是非同寻常的。他不仅思维敏捷，而且穿着时髦、风趣迷人，喜欢跑车和女人，爱写打油诗、讲黄色故事，对噪音、美食、酒和金钱一概不排斥。我在这里举罗素和冯·诺伊曼的例子无非是想说明，数学家的个性因人而异，与数学自身的特点并无必然的关联。只不过，对冯·诺伊曼来说，他的数学可能源自于经验，他的生活也大体如此；而对爱多士来说却不是这样，至少在我看来，他的数学直接源自于那颗无时无刻不敞开着的脑袋。1996年秋天，爱多士在华沙发表组合论的演讲之际死于心脏病，在那颗神奇的脑袋停止工作以后，人类或许要等上一个千年，才有可能重新找回。

本文摘自日本著名歌手、影视明星山口百惠的《山口百惠自传》一书。

每个人都会受什么拘泥，所谓吉利数字也是一种拘泥吧？

我从小学生时代起就和“十七”有缘。上了六年小学，我的学生证号几乎都是十七。如果牵强附会的话，这数字适用的地方很多，我的出生日也是十七日。

从小时候起，我就决定把“十七”作为我的吉利数字。虽然说这样决定了，可在以往发生的事情中，从不对数字寄托希望，不过只要学生证号是十七，我就莫名其妙地放心了。

记不得哪一次，只那一次，我的学生证号成了十八，就为这个，我心烦意乱，毫无根据地断定自己这一年也许会碰到什么倒霉事。

奇数和偶数相比，我喜欢奇数。

从前，在杂志来采访我时，我这样回答过。记者问“理由呢”，我说；“说不出道理，但总觉得是奇数就好。”现在想来，我的回答牵强、不明不白的。既然受某一事物拘泥，自然没有能够说得清楚的理由了。尽管如此，那位记者现出奇怪的感动之至的神情，说了声“嗯，说不出道理的感觉吗……嗯”，独自洋洋得意回去了，他能理解这些吗？

年龄也拘泥于十九岁。它比其他任何年龄都使人感到神秘和娇艳。过了二十岁就是大人，不足十八岁还不算成年人，不知什么原因，我对其间承上启下的十九岁这个年龄很感兴趣。

十九岁时恐怕会发生什么事情，这个想法一直占据着我的脑海。每逢问到我憧憬向往的年龄，我总要回答十九岁。到了这个年龄就停住，不要进入二十岁该多好——我希望。

十九岁！

不出所料，这一年对我来说是很重要的一年了，也可以说成是精神上的分水岭吧。总之，这是我身边都被染上从未有过的颜色的一年。

在“歌星诞生”这个节目中，也是奇数和我相伴而行。预选号是101 号，电视预选是3 号，决胜大会是11号。我记得，预选时看到号码是奇数，就想到“是奇数，我没关系了”。

真是不可思议，是奇数就有信心。要是在那里拿到偶数号，也许当场就会丧失信心回家去了。我曾想过，仅仅是这么一点小事，它就可能使我的生活和现在截然不同。

初次登台的日子是五月二十一日。引退日虽在十月，日子却是十五日。而举行婚礼的日子是十一月十九日。如果说两个数字中有一个概率的话，那么，这说明还是和奇数有缘。

我现在的年龄是二十一岁。兴许过于拘泥了吧？不不，我今后还要拘泥下去。我自己私下里悄悄地拘泥于此，有时也是很愉快的。

     感谢《爱情密电码》一文，要是朋友们结合后面那篇浪漫的故事来理解密码学理论似乎就不那么吃力了！ 把数学理论描述得通俗易懂本来是一件开心的事情；但密码学是曾经和朋友提起过的话题，遗憾的是没能用到展开式对话就谢幕了!   如今物换星移云淡风轻事过境迁旧事重提莫名感伤啊。
     密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。
      密码是通信双方按约定的法则进行信息特殊变换的一种重要保密手段。依照这些法则，变明文为密文，称为加密变换；变密文为明文，称为脱密变换。密码在早期仅对文字或数码进行加、脱密变换，随着通信技术的发展，对语音、图像、数据等都可实施加、脱密变换。
      密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的，并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。它与语言学、数学、电子学、声学、信息论、计算机科学等有着广泛而密切的联系。它的现实研究成果，特别是各国政府现用的密码编制及破译手段都具有高度的机密性。
      进行明密变换的法则，称为密码的体制。指示这种变换的参数，称为密钥。它们是密码编制的重要组成部分。密码体制的基本类型可以分为四种：错乱——按照规定的图形和线路，改变明文字母或数码等的位置成为密文；代替——用一个或多个代替表将明文字母或数码等代替为密文；密本——用预先编定的字母或数字密码组，代替一定的词组单词等变明文为密文；加乱——用有限元素组成的一串序列作为乱数，按规定的算法，同明文序列相结合变成密文。以上四种密码体制，既可单独使用，也可混合使用，以编制出各种复杂度很高的实用密码。  
      20世纪70年代以来，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离。加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的。这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨。
      利用文字和密码的规律，在一定条件下，采取各种技术手段，通过对截取密文的分析，以求得明文，还原密码编制，即破译密码。破译不同强度的密码，对条件的要求也不相同，甚至很不相同。
      中国古代秘密通信的手段，已有一些近于密码的雏形。宋曾公亮、丁度等编撰《武经总要》“字验”记载，北宋前期，在作战中曾用一首五言律诗的40个汉字，分别代表40种情况或要求，这种方式已具有了密本体制的特点。
      1871年，由上海大北水线电报公司选用6899个汉字，代以四码数字，成为中国最初的商用明码本，同时也设计了由明码本改编为密本及进行加乱的方法。在此基础上，逐步发展为各种比较复杂的密码。
      在欧洲，公元前405年，斯巴达的将领来山得使用了原始的错乱密码；公元前一世纪，古罗马皇帝凯撒曾使用有序的单表代替密码；之后逐步发展为密本、多表代替及加乱等各种密码体制。
      二十世纪初，产生了最初的可以实用的机械式和电动式密码机，同时出现了商业密码机公司和市场。60年代后，电子密码机得到较快的发展和广泛的应用，使密码的发展进入了一个新的阶段。
      密码破译是随着密码的使用而逐步产生和发展的。1412年，波斯人卡勒卡尚迪所编的百科全书中载有破译简单代替密码的方法。到16世纪末期，欧洲一些国家设有专职的破译人员，以破译截获的密信。密码破译技术有了相当的发展。1863年普鲁士人卡西斯基所著《密码和破译技术》，以及1883年法国人克尔克霍夫所著《军事密码学》等著作，都对密码学的理论和方法做过一些论述和探讨。1949年美国人香农发表了《秘密体制的通信理论》一文，应用信息论的原理分析了密码学中的一些基本问题。
      自19世纪以来，由于电报特别是无线电报的广泛使用，为密码通信和第三者的截收都提供了极为有利的条件。通信保密和侦收破译形成了一条斗争十分激烈的隐蔽战线。
      1917年，英国破译了德国外长齐默尔曼的电报，促成了美国对德宣战。1942年，美国从破译日本海军密报中，获悉日军对中途岛地区的作战意图和兵力部署，从而能以劣势兵力击破日本海军的主力，扭转了太平洋地区的战局。在保卫英伦三岛和其他许多著名的历史事件中，密码破译的成功都起到了极其重要的作用，这些事例也从反面说明了密码保密的重要地位和意义。
      当今世界各主要国家的政府都十分重视密码工作，有的设立庞大机构，拨出巨额经费，集中数以万计的专家和科技人员，投入大量高速的电子计算机和其他先进设备进行工作。与此同时，各民间企业和学术界也对密码日益重视，不少数学家、计算机学家和其他有关学科的专家也投身于密码学的研究行列，更加速了密码学的发展。密码学（源于希腊语kryptós，"隐藏的", and gráphein, "书写"），传统意义上来说，是研究如何把信息转换成一种隐蔽的方式并阻止其他人得到它。在过去，密码学被用在重要的交流活动中来确保隐蔽性，如在间谍和反间谍之间，或外交官和总部联系之间等。在近几十年，密码学被用在越来越广的场合；它已经成为安全工程学的基础工具。密码学是跨学科科目，从很多领域衍生而来：它可以被看作是信息理论，却使用了大量的数学领域的工具，众所周知的如数论和有限数学。密码学也可以说是工程学的一个分支，不同的是它必须应对一些活动频繁的，高度智慧的，有恶意的敌人的攻击。

爱情密电码

李开周

　　明天要出门，翻箱倒柜地找身份证，找来找去，找出来一堆发黄的书信，信里夹着几张小纸条，其中一张写道：

18，5，14；25，21，5；8，21，1，14，7；8，21，14；8，15，21。　［密文］

　　换别人看，肯定不知所云，持家有方的朋友会以为这是买菜的开支，敬业的数学家会以为这是3×5的矩阵，即使是警察来抄我的家，搜到这张纸条时，也只会往受贿金额或者杀人记录上猜，而想不到它就是一份情书。　［密码是通信双方按约定的法则进行信息特殊变换的一种重要保密手段。］

　　这份情书当然是我写给妞妞［密码信息接收方］的。彼时我和妞妞正读高二，爱情马拉松刚刚起跑，所谓恋奸情热，一时半刻不说话就憋得难受。那时候不流行手机，想靠发短信来传情达意肯定是不现实的，一般都是传纸条［安全等级不高］。在班里，我坐最后排，妞妞坐最前排，中间隔着十几张桌子，传纸条免不了要过几道手续。譬如下午物理课，我在纸条上写道：吻你。把纸条卷起来，捣捣前面同学的后背，他会意，接过纸条，传给前面的小明，小明再传给更前面的小华，像传递奥运火炬一样，一直传到妞妞手里。这个过程很浪漫，却很不保险，因为在中间帮忙的同学总是不自觉，接到纸条以后，忍不住要抻开了瞧一瞧， ［利用文字和密码的规律，在一定条件下，采取各种技术手段，通过对截取密文的分析，以求得明文，还原密码编制，即破译密码。破译不同强度的密码，对条件的要求也不相同，甚至很不相同。］然后大声念出上面的内容——对任何一对小情侣来说，这种威胁都有想办法避免的必要。

　　我们开始尝试怎样让别人读不懂。最初是用小篆，借助一本讲书法的小册子，把纸条上的简体字替换成纂体字。［密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的，并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。］然而班里有高手，人家读小纂如喝凉水，尝试了几次，依然难逃被大声念出来的厄运。［密码学也可以说是工程学的一个分支，不同的是它必须应对一些活动频繁的，高度智慧的，有恶意的敌人的攻击。］再后来用甲骨文，［密码学是跨学科科目，从很多领域衍生而来］这回好，岂但别人看不懂，连妞妞也看不懂，并且众所周知，咱们祖先说话简洁，用的字少，现代人情书上的字，甲骨文里大多找不到。于是，用密码写情书就摆在我和妞妞的日程上来了。［密码破译是随着密码的使用而逐步产生和发展的。］

　　现在看起来，我们在密码学上一点儿不专业：连专用的密码表都没有，［指密码的体制过于简单］只是将汉字转成拼音，再把拼音转成拼音表里的编号。比方说，要写“吻你”，就先写成“wen ni”，再查拼音表，w是第23个字母，e是第5个字母，n是第14个字母，i是第9个字母。最后写出来，就成了“23，5，14；14，9”。

　　这样写情书很费工夫，只适用于传纸条，三言两语，一溜数字，别人看不懂，我们自己看也要翻译，但是其乐无穷。［说明了密码保密的重要地位和意义］开篇提到的那张小纸条，是我写得最频繁的，现在转译一下［变密文为明文，称为脱密变换。］：18是r，5是e，14是n……合起来就是——ren yue huang hun hou（人约黄昏后）。

       欧玛尔•海亚姆（1048－1123）是大诗人、数学家和天文学家。在我转载的数学小品栏目下的《数学家和诗人》一文结尾中提到：人类历史上唯一能够在数学和诗歌两方面都有杰出贡献的人唯有欧玛尔•海亚姆了。

       本文接着关注波斯诗人欧玛尔•海亚姆（Omar Khayyam）的诗歌集《鲁拜集》。

       鲁拜：原是波斯的一种四行诗，短小优美，有似中国的绝句。下面以郭沫若由英译本转译的《鲁拜集》的引文作为进一步的介绍。

　 波斯诗人欧玛尔·海亚姆（Omar Khayyam），他的生日，迄今没有人知道，大概是生在十—世纪的后半。有人说他死在—一二三年，但是也不大的确。他的故乡是在Khorassan的Naishapur，在波斯的极东，为亚细亚大陆所拥抱。气候温和，土地丰美，适于农业。棉花的栽培最盛。棉织物、绢、呢等类自古驰名。更产突厥玉和其他诸种宝石。在欧玛尔当时，是波斯文化的中心地点。

　 诗人幼年所住的学校便在Naishapur。据他的学友尼让牟（Nizam al Mulk）的记录，当时有一位最大的哲人野芒（Imam Mowaffak）在Naishapur教书。那就是他们的老师。尼让牟的父亲遣尼让牟来就学，尼让牟在这里遇着两个意气相投的朋友，一个是奔沙伯（Ben Sabbah），一个就是欧玛尔·海亚姆。尼让牟是图司（Tus）的人，奔沙伯是阿里（Ali）的人，欧玛尔是纳霞堡的本地人。他们读的是“可兰经”，研究的是古代传说。

      有一天他们三人相聚，霍山（Hasan，即奔沙伯）向尼让牟和欧玛尔说道：“世间一般的信仰，都说野芒先生的弟子会得到幸福（当时的信仰，凡读“可兰经”及古代传说的人都能够得到幸福，如我国以前读五经三传之类），但是我们假使不能都得到幸福的时候，我们会怎样来互相帮助？”尼让牟和欧玛尔答道：“随便怎样都好。”霍山便说：“那末我们大家应该发誓：无论幸福落与谁人，都应得均分，不能专享。”尼让牟与欧玛尔都同意了。后来尼让牟做了官，竟做到当时的教王阿尔士朗（Alp Arslan）的宰相。

      尼让牟做了宰相之后，他的两个旧友来访他，尼让牟请于教王，给了霍山的官职。霍山嫌升进太迟，他把官职丢了。后来竟成了专好杀人的一种宗派——依时美良派（Ismailians）的首领。他在一○九○年占据了里海南岸山国中的阿拉牟提城（Alamut），十字军时有名的“山中老人”就是霍山。尼让牟后来也是被他刺杀了的。诗人阿塔尔叙尼让牟将死时说道：“啊，大神哟！我在风的手中去了。”——这正和欧玛尔的诗“来如流水，逝如风”句（见第二十八首）相类。

　 欧玛尔去访问尼让牟宰相的时候，他不要官职，只向他说道：“你能给我最大的赐予，便是在你的福庇之下，使我得到一个清净的地点安居，我要开展科学的利益，并祝你福寿康宁。”宰相便从纳霞堡的财库中每年赠他一千二百密（Mithkal）的年金。

     欧玛尔住在Naishapur一直到死，一生之中忙于各种知识的探求，在天文学方面的知识更特别丰富，是当时的权威。在马利克夏（Malik Shah）教王时，他得过大量的赏赐。改正蒋牟西旧历的时候，他是委员八个学者中的一人。改正后的新历名叫雅拉里历（Jalali），从一○七九年三月十五日起施行。据英国史学大家吉朋（Gibbon）的批评：“时刻的推算比鸠良历（Julian Calendar）精确，和格利果良历（Gregorian Style）相近。”他又做了些天文图谱，做了部阿拉伯文的代数。

　 诗人的生活，我们所能知道的，就只有这一点。关于他的临终另外有种传说，是从他的弟子撒马尔干的宽雅（Khwajah Nizami of Samarcand）传出来的。宽雅说：“我常常和我的先生Naishapur在一个花园中谈话；有一天他对我说，‘我的坟墓所在的地方，北风会吹蔷薇花来复罩。’他所说的话，我觉得奇怪，但是我知道他的话不是没有意思的。几年之后，我偶尔去访问纳霞堡，我走到他长眠的地方，啊，奇怪！那恰在一座花园之外，果木带着果实把它们的树枝从园墙伸出；花片飞在墓上，墓碑是埋在花里。”——这种美化了的传说，恰合于诗人的永眠；正如李太白之死，人以为捉月骑鲸而去；印度诗人伽毗死后，尸化为白莲（见泰戈尔用英文译出的“伽毗的诗一百首”的序传）。但从这个传说我们可以知道欧玛尔有他的弟子。

　……
      “鲁拜集”（Rubaiyat）的原名本是鲁拜（Rubai）的复数。鲁拜这种诗形，一首四行，第一第二第四行押韵，第三行大抵不押韵，和我国的绝诗相类似。我的译文又是英文的重译，有好几首也译得相当满意。读者可在这些诗里面，看出我国的李太白的面目来。

（以上出自郭沫若译文）

      二十八

我也学播了智慧之种，
亲手培植它渐渐葱茏；
而今我所获得的收成－－
只是“来如流水，逝如风。”

       二十九


飘飘入世，如水之不得不流，
不知何故来，也不知来自何处；
飘飘出世，如风之不得不吹，
风过漠地又不知吹向何许。

      六十七

此首是green 的颠覆之作，并非出自郭老，应作者要求，特此更正。green 名言：不朽是不需要谦虚的。

       佚我以美酒，
       息我以琼浆。
       殓我以翠叶，
       葬我于花旁。

（注:《庄子》“夫大块载我以形，劳我以生，佚我以老，息我以死。”）

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这是朋友小虫在学生时期^[1]翻阅了许多美学书籍后的有感而发，在探讨一个古老的问题时，作者对生命的本源的进行了严肃的思考。

近日听一讲座,香港大学生命教育讲师、佛学研究者释衍空来本校开讲座.会上有一学生提问法师,出家人日常都在做些什么.法师回答:思索,不断地思索,一言一行中都在思索.思索什么呢?生命为何物?何以有生命?生命的意义是什么?何以为乐何以为苦?天地人神何以相互碰撞共存共灭?我们何以为人?

听来甚觉天方夜谭,是吗？然而我们有此想法,也许是因为我们太功利了.骨子里被现代社会和教育的功利所统治,我们便认为了一个人如果不去搞产业,不去盈利,不去啃外语拿文凭和争取高工资,而花时间去思索什么是生命,那就不是个值得看起的人. 人,对人价值的评价,已经在不知不觉中,濒临和传统道德教育的断层中了,或者已经断层……

小帆你问的是艺术.我一直未回复,请原谅,别生气. 这个问题人人可论,而又人人论不得果.艺术一直是个问号,是个在不同的时代,不同的国度.不同的地域,不同的思潮里,以各种形式呈现于世的问号.即使它常用感叹的形式.

……
首先得正名的是.艺术不是具体的某幅画和某首歌.而是一种内涵,一种情趣.艺术就在生活里.离开人生,便无所谓艺术,因为艺术是情趣的表现,而情趣的根源就在人生;反之,离开艺术也便无所谓人生,因为凡是创造和欣赏都是艺术的活动,无创造无欣赏的人生是一个自相矛盾的名词.

任何赋予了对人生和世界的感悟的行动,都是艺术,任何被事物的形相所感动而从中提炼了美祝福了美的作品,都是艺术作品.人生艺术化就是人生情趣化.道理体系里,善为最高.艺术层面里,美为最高.我们抛开功利和实用的态度来看周围的事物,不过多地思考它的意义,而只关注它自己本身的形相,就是绘画范畴的艺术感.这是艺术家之所以为艺术家的前提.圣经里说上帝创造人时.要人做到两件事情,一是要关注万物本身的相貌,二是关注它的意义...而后来,人类都只做好了后半句.

这是神话.也是哲理.我们看一棵树,是想到它可以做什么木具,用在建筑的哪个部位,是否可以烧火,属什么科什么目,是常年生植物还是怎样……如此等等.都是只关注了树以外的世界,离开了树本身能给人的感动.离开了它最原始的美^[2] .艺术是对上帝第一句话的补充.

几个月来对美学书籍的阅读成果便是头脑里凌乱的冲击.我知道自己之所以被冲击是因为本来的无知,还有以往对艺术的误解.现在看一只蝴蝶飞过会欣赏十几秒,会对夕阳感叹不厌,对喜欢的事物开始有赤子般的单纯的喜欢.我们都太复杂了……试着单纯.或许更接近艺术.

至于现代艺术,有利有弊,日益变化的政治和经济意识,从来就悲哀地控制着人的意识,乃至艺术……我们不必对涂鸦的画面加以尽力的阐释.艺术家和自己的宇宙观之间.艺术家和语言之间.绘画语言和观赏者之间,是有层层隔阂的.艺术家把自己的艺术感受用他的语言(或绘画语言,或文学语言,或音符)表达出来,从而去和观赏者的心灵对话.而每个观赏者看到的,是艺术家,也不是艺术家,是被艺术感动了的主观自己.

艺术作品的高超低劣,在于它能否惊醒人对美的感受力.感受力有深度可言.可以由教育和环境练就,也视乎人格.

……
Mon, 29 May 2006

[1]小虫简介：一个喜欢给大家带来惊喜的朋友。

[2]类似的观点在朱光潜先生的《当局者迷，旁观者清》中也有体现。

     让我们想象一下：Archimedes(公元前287 -前212年 ) 这位在所有时代都是最卓越数学家之一的他正在提问：对于数学的未来你们看到了什么？这位古代数学家刚刚计算了球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究并在他出身的数十年前由Euclid 编写在他的名著《原本》中的那些知识。鉴于数学工具的十分缺乏，局限了Archimedes 的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的符号简化在其力所能及的范围是革命性的。

　　将Archimedes 留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们去造访Issac Newton 爵士（1642 -1727）。23 岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位，Newton 便被迫回家度过了18 个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短短的时间里，Newton 有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律，现在我们去会一会年事已高的Newton 并问一问他那个同样对Archimedes 提出的问题：什么是数学的未来？他可能会很快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分，Newton 可以把任何几何形状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这 Archimedes 是所不能想象的, Newton 思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会说"我的定律"），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现了力的平衡，那么，他自问道"我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？"但即便是Newton的视野也不可避免地有所局限。

　　从这时起到Gauss （1777 -1885）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几何的复杂性和Riemann 流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测了，David Hilbert （1862 -1943）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（1900）上列出一系列著名的数学问题，在这整个20 世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微分方程中。

　　在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的偏微分方程（PED）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解，预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我们就可通过解称之为"热传导方程"的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。"梁杆方程"同样能预言当承受压缩力时一个弹性梁是如何变化。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。

不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们仍是深入研究的主题。

数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。数学家们在未来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。

　　因此我不去预测下个世纪数学的未来而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学，生命科学和数码技术。

材料科学中的数学

　　材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质以及在一定时间段内控制和改进这些性质。不久以前，材料科学还主要是在冶金，制陶和塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学，工程及数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。例如，聚合体是由简单分子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的，分枝或者网络的结构。

聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热，逐渐冷却，高压）。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是，在一些领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几个结果，它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介质力学，但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的结果，但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。

复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另一种材料，得到一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽车公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。

最近十年来，数学家们在泛函分析，PDE及数值分析中发展了新的工具，使他们能够估计或计算混合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破裂。破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这些都是有待研究的问题。

生物学中的数学

　　在生物学和医药科学中也出现了数学模型, 炒得很热的基因方案的一些重要方面需要统计, 模型识别以及大范围优化法 虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展, 比如在生理学方面, 拿肾脏作个例子吧, 肾的功能是以保持危险物质( 如盐) 浓度的理想水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收盐份转入肾中的职责，他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的，在这个过程中渗透压力过滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但过程的精确过程却还只是勉强弄明白了。 　
肾脏的运作过程的一个初级数学模型，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿，然而我们仅仅是在了解这种机理的非常初级的阶段。一个更加完全的模型可能会包含 PDE 、 随机方程、流体力学、弹性力学、滤波论及控制论，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、钙（骨）力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤口愈合）以及生物流体（biofluids）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已经取得了一些成就；更多的成就会随后而至。 数学将要取得重要进展的其他领域，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性的建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想！

多媒体中的数学

　　大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了一场可从表面上看1760 年到1840年发生在英国的产业革命相匹比的静 那牡母 命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完全冲击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字信息的萌芽状态，它已为多媒体铺出了一条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送。

　　多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化，图像处理，语音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用，应用于制造业、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业，这只点出了几个而已。多媒体中的数学工具可能包括随机过程、Marko 场、统计模型、决策论、PDE 、数值分析、图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某种程度的监护下，如人造生命和虚拟世界。

　　计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上一敲后产品便在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？万维网（WWW）已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本的需要也与日俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学家们的任务了。为此，他们必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一些领域。

　　在物质的与生命的科学和在技术的发展中，数学继续起着与日俱增的重要作用。

　　正如Archimedes 站在叙拉古的海滩上一样，这里我们正站在一个新世纪和一个新千年的门槛上。我们只能推测，新的理论最终会解决一切向数学挑战的问题，无论它是来自我们生活的世界还是来自数学本身。在过去的几个民纪里我们获得了惊人的大量知识，但正如Archimedes 和Newton 一样，我们依然在不断扩展的数学地平线的门口。

　 (Aver Firedman ：美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长)

难怪雪哥的朋友比我的还多。是因为有些道理这个星期才明白。雪哥的父亲曾经对他说：亲人是父母给你选的朋友，朋友是你给自己选的亲人。这句话就成了他永远的人生座标，他愿结交天下所有有识之士，让他的人生更充实。http://user.qzone.qq.com/376692555/blog/1200566534　

还有一个故事，和上面的意思差不多。

　　有一个智者，他身边有一大群慕名向他拜师学艺的学生。一天大早，天还未亮，四周还一片漆黑，智者问了他的学生一个问题：“你们谁可以告诉我，什么时候才可谓是黑夜的结束，白天的开始？”

       学生们面面相觑，这时候有一个比较机智的学生说：“是不是可以说，当你能看见前面走过来一个动物，并能分辨出它是一只绵羊还是一只山羊时就是黑夜的结束，白天的开始？”

       智者摇摇头。

       另一个学生说：“那是不是当你能看见远处的一棵树，又能说出那棵树是无花果还是桃树时，就是黑夜的结束，白天的开始？”

       智者继续摇摇头。

       学生们在一阵猜测过后，终于忍不住，便问智者：“老师，那您说黑夜是什么时候结束的？”

       智者平静的回答：“当你无论看到一个男人或者女人的脸，都能把他们当做自己的兄弟姐妹时，黑夜就结束了。如果你做不到，那无论什么时候，你的心都在黑夜之中。”

   本文摘自室友　皇家宫廷乐师BLOG：http://blog.sina.com.cn/panliang22　想不到亮哥如此怀旧

   毕业了，真的有些不敢相信这是真的。自从我来到这个城市之后我便想着怎样尽快的离去，说真的我真的应该为自己祝贺一下！
   西元2008年6月27日23点零五分32秒，正在安静打小说的我被手机的震动声吓了一跳。打开一看是小强在火车上发给我的短信：

                            送友人

                        车行西去望城关

                        白日黄尘天地还

                        旧友执书评东顾

                        只留武策九千言

   四年，如南柯一梦，时光匆匆。这几日真的感慨良多，或许有些心有不甘吧！但是真正令我割舍不去的是那点点滴滴凝聚在心灵深处的同窗之情。想起6月25号那天我握着兵仔的手黯然落泪……看着旺财那通红的双眼，最终忍不住和他抱头痛哭……和邱旭小强三人抱在一起在角落里嗷嚎大哭,说出了心中压抑了好久的那句：“我舍不得你们……”

   今天已经有好多人走了，想到这里我的眼睛又慢慢的湿润了，那一个个熟识的脸庞，那一个个远去的身影。留给我的只剩下两行清泪，和心中深深的不舍……

   四年前，我进入了一个从未来过的房间，面对着一胖一瘦的两个人说道：“你们好我来自贵阳以后请多关照！”“欢迎加入507我来自新疆叫邱旭！”“我也是新疆来的我叫小强。”

   “旺财，走我们去吹牛去。”“去哪吹牛？”“随便到处逛吧！”这是我经常和旺财说道的话……

   “嗨！大家好，我叫小凡！”“哈哈小凡你好乖啊！”我们寝室同时说道……

   “任宗琪，你这个帅哥！”“靠！”那个天津小伙每次听完后都有些得意，又有些不好意思的“靠！”一下……

   “冲哥！雄起”“低调点低调点”……

   “自古英雄出少年！”我和梁晋铭，一看到王发鑫就喊道……

   “亮亮今天晚上我们来卧谈吧！”邱旭提议道！“OK！没问题！小强你起个话题！”我同意到。“好啊！那就讲日本动画吧！”小强说。“小强我们还是来讲讲你喜欢什么类型的女生吧！”邱旭说。“这个嘛！因该是比较开朗活泼的！”小强说到。“小强！那种类型的女生是不是像苗翠花一样的？”小凡突然说道。“苗翠花？”三人同时问道。“是啊！我就觉得她很开朗活泼的！”小凡答道。接下来是一阵爆笑……

   “雪哥，我有点郁闷，你现在有空聊下天没？”“好啊！”……

   “雨果，这个球你自己搞！”“好！”……

    还有504的那四个呆瓜们，503的兵仔、仁红、李松，还有小蜜蜂、吴总、金琪、杨东升，还有好多人……

   无数个画面里面有无数个不舍。不过我相信我们一定会再见的，一定会。离别之际，把这首诗送给一起生活，一起成长的每一个人，我会为你们祈祷的……

                              手足

                         自去红尘寒窗掩，

                         月下常忆友人言。

                         管他功名三千万，

                         哪比共眠一席间？

亮亮：一个具有大侠气质的朋友。

据说有一次魏文王问神医扁鹊说：你们家弟兄三人都行医，为什么只有你的名气最响亮？是因为你的两个哥哥的医术不如你吗？

扁鹊说：其实我们家医术最高明的是我的大哥，他可以在病人刚刚有得病苗头的时候就做出正确的诊断，开两副汤药一吃就好了，病人也不觉得他的医术有多么高明，所以他的名气只限于我们家里；我的二哥医术比大哥稍微差一点，他可以在病人得病的初期发现病症并找出根源，然后扎扎针灸就能治好病，所以也只有我们家乡的人才知道他，外地人一般就不知道了；我的医术是最差的，只能在病人病情严重的时候去开刀接骨、救人性命，结果大家都认为我能治好大病，所以我的名声反倒最响亮了。

孤独全由固执造化。固执和被乘数零很像：和别人的打交道往往以自我为中心，听不见别人的意见。固执的人应该更容易孤独，朋友会渐渐地疏远，最后成就一孤家寡人。

并非孤独者没有交友倾向，因为除了神，没有凡人喜欢孤独。从美学的角度来看：孤独者应该均匀散落各个角落，毕竟在历史长河中，孤独只是一种点缀。

在城市里，孤独者的密度远比小镇上的高，所以大多数人难觅可见于小镇上的那种密切的友谊。一座城市便是一片荒野，培根也说：“没有爱心的地方，熙攘的人群并非伴侣，如流的地方无非是画廊一条，……”由于城市多为小镇变迁而来，可见孤独是可以谩延的。

尼尔•戈德曼是一位数学企业家。在他所工作的华尔街，数字为王。但是，他却将他的分析手段瞄准了另外一个完全不同的领域：文字世界。

由戈德曼所创建的信息技术公司（Inform Technologies LLC）是一家自动化图书管理公司，公司的系统每天都要阅读数以万计的英文报刊文章和博客网站，把相互关联的片段分为一组。信息技术公司对文章分析归类时并不是按照字母顺序或搜索关键词的方式，而是利用一定的运算法则，对文章的语言和上下文进行分析，然后向用户发送为其量身定做的新闻。实际上，这些用户也是以数学的方式存在于该公司的系统之中。

如何把书面文字变为数学呢？戈德曼说这就要把代数和几何学结合起来运用了。想像一个物体漂浮于太空之中，每一条已知信息都组成它的一条边。这个物体就叫一个“多面体”，它的面接近无穷，我们普通人几乎无法构想出来。这个多面体包含了报刊中所有的主题。信息技术公司处理的每一篇文章都会成为多面体上的一条直线。每条直线都有一系列的相互关联。举例来说，一篇关于波尔多酒的文章在“多面体”上会与“法国”、“农业”、“酒”甚至“酗酒”这些词语比较接近。信息技术公司则通过测量两条直线之间的夹角来衡量一篇文章与另外一篇的相关程度。

现在，当你阅读这些词句时，这篇文章也会以一条直线的方式存在于戈德曼的多面体上。这就提出了一个基本问题：如果一篇长篇大论，即使其中充满了起承转合，也都能被简化成一个数学的要素，那么接下来还有什么可以被简化呢？那就是我们的商业活动以及我们自己。

世界正在进入一个数字新时代。数学家与计算机科学家正联手开拓全新的商业领域，充分发挥数学的效率。这事有先例可循。在过去的几十年间，高等数学与计算机建模紧密结合，改变了科学和工程学。上一辈的数理专家们曾将金融界闹得天翻地覆。数据采金人从大量的消费者和商业数据库中采集捡选出有价值的情报。再看看现在数学家们在干什么：他们帮助公司策划广告宣传，他们改变了新闻编辑室和生物实验室的研究性质，他们使营销人员得以打造与客户之间的一对一关系。随之而来的是，越来越多的经济领域正在落入数字王国。美国国家安全局（National Security Agency）所属的数学研究小组负责人詹姆斯•沙茨说：“数学家们的光景从没有这么好。”

从信息技术公司这样的新兴创业公司到IBM之类的技术行业巨头，所有公司都在努力把数学与商业联系在一起，其联系方式在几年前看起来甚至还有些异想天开。过去10年来，相当数量的人开始在网上工作、娱乐、聊天以至购物。我们向网络输入了大量的数字化信息，这些信息曾一度被搁置在小纸片上，或消失在被遗忘的对话中。现在我们生活中的这些片段被保存在数据库中，许多都成为公开信息。从商业角度看，它们迫切需要分析。但是，如果不能招聘到有技能的数学家和计算机科学家，即使有了功率最强大的计算机和充足的廉价存储器，公司也没有能力将日益膨胀的数据海洋进行分析归类，更不用说利用它们发展业务了。

随着数学的兴起，市场对杰出的数理专家的需求日渐升温，特别是在互联网巨头公司，一个数学系毕业生的起始年薪就达6位数，此外还有丰厚的股权。麻省理工学院应用数学教授、企业家汤姆•莱顿说：“我所有的学生都得到了雅虎和Google的任职邀请。” 顶尖的数学家们正在成为一支崭新的全球精英队伍。尽管根据猜测，这批人尚不足5000人，但从哪一点来看都不逊色于曾经呼风唤雨的哈佛大学MBA。

与此同时，数学企业家们也迅速积攒了巨大财富。15个月前，信息技术公司的尼尔•戈德曼将其以前创立的以数学为基础的财务分析公司“资本智商”（CapitalIQ）以2.25亿美元的价格出售给标准普尔公司。去年5月，阿密特和巴尔拉基 •辛格两兄弟将其经营的为遗传学开发计算方法的Peribit网络公司出售给Juniper网络公司，售价达3.37亿美元。

在被数据所充斥的世界里，我们自身就成为这些数学怪才最珍视的样本。安泰保健（Aetna Health Care）、亚马逊网站和许许多多其他公司的研究人员正在拼搭客户和雇员的数学模型。有些模型预测我们可能会买哪些音乐制品，另外一些模型则分析哪位工作人员最适合哪个岗位。目前，这些模型还很原始，相当于简易的线条勾勒。但是，再过10年，我们每个人都会获得一个更加有血有肉的仿真模拟的自己。我们将被塑造成工作人员、购物者、选举人和患者。有些仿真模拟数据还会附上我们的姓名和信用卡，甚至一些基因资料。而在其他的数据中，这些表明身份的信息将受到屏蔽。上述这些林林总总的数据模型有的万分精准，有的异常离谱。尽管如此，公司和政府仍将充分利用这些模型预测如何向我们推销产品、怎样指导我们预防疾病并提高生产力。毫无疑问，它们还将千方百计地利用这些模型防止劫机和爆炸事件的发生。

这种模拟人的数学模型将成为21世纪最伟大的一项事业。随着数学家越来越多地获取新的数据，这种模型的范围将日益扩大直至将物质世界的大部分包括进去。数据来源可能来自大气感应器，也可能来自数以百万计的摄像头的回传数据。就像一个平行的世界正在成型，又像一个为创新和发明而设的实验室，只不过这个实验室是由数字、向量元素和运算法则组成。总部设于科罗拉多州博尔德的Umbria公司运用数学在线分析营销趋势，首席执行官霍华德•考尚斯基说：“我们把物质世界变为数学，也把你变为数学。”

黑暗的一面

这一产业化的形态变化也有黑暗的一面。数学家们对个人信息赋予含义，找出个人的行为模式，这些做法将不可避免地侵犯到个人隐私。商家将能够追踪我们很私密的购买信息，雇主不但可以用生产效率还能用浪费了多少分钟来对我们进行排序。除此之外，数学的兴起使人们感觉到个人力量的渺小；也使人们预感到数学能清楚地勾画出我们的命运, 从我们的信用等级到我们的基因图谱。

过去10年中，对此类问题的争论爆发过很多次。布什政府曾下令对电话和互联网通讯进行探查以求嗅到恐怖分子的蛛丝马迹，随着美国国会对此事展开调查，这类争论肯定还会再度出现。但尖端的数据采集与高等数学相结合也可以产生巨大力量从而攻克人类疾病。按信息技术公司首席技术官杰克•艾因霍恩的说法：“下一个‘乔纳斯•索尔克’（小儿麻痹症疫苗的发明者——译注）会是一位数学家，而非医生。”

数学的撼动力在广告业表现得最为明显。Google和其他建立于数学基础之上的搜索公司正在将一个根植于理念、直觉和人际关系的行业变为一系列计算。它们之所以能够引领这一行业，原因非常简单：它们知道潜在的客户在浏览什么、点击什么、也常常知道他们在买什么。网络公司不但使用这些数据建立客户档案，还能搞掂更多的合同。大约18个月前，一个名为“互动广告社”（Interactive Advertising Bureau）的行业团体着手对宝洁、迪士尼等30家蓝筹股公司进行测试研究。这些研究对消费者数据进行处理，以衡量广告在众多媒体上的效果。反馈回来的全是确确实实的数字。例如，数字显示，福特汽车如果将其在线广告预算比例由2.5%提高到6%，则其卡车销售能提高6.25亿美元。福特对此响应积极：去年8月，该公司对外宣布，在其10亿美元的广告预算中，针对个人消费者的媒体广告开支比例将提高到30%，其中一半将投入在线广告。

伊姆兰•卡恩是在线贷款公司——E-Loan公司搜索广告部主任。身为一名训练有素的会计师，卡恩将广告运作变成了一间巨大的统计实验室。正如行业中大多数人一样，他于3年前开始在各大搜索引擎中对关键词进行投标。到现在，卡恩的团队已经积攒了25万个关键词和短语。只要网上冲浪者在搜索引擎中输入这些词语，E-Loan的广告就会出现在搜索结果旁边，卡恩的团队会为每一次点击按投标价付费。不过，以搜索为基础的广告运作可不是一个静止的过程。卡恩与靠分析起家的硅谷企业Efficient Frontier公司联手，对其词库进行细致的分析处理，对每个词语的投资回报率分别进行计算，随时抓住数千个标的。卡恩每年在这方面的开支是1500万美元，这相当于E-Loan公司广告预算的一半，卡恩由此积累了大量客户反馈信息。

随着数据专家对客户信息积累的逐渐增多，他们的力量也强大起来，并开始要求从内部推进公司的变革。拿媒体行业来说，随着消费者数据库的不断膨胀，负责营销方面的数理专家就可以向编辑和节目制作人提供日益复杂的统计模型，告诉他们哪类电视场景或文章对某一类人群最具吸引力。随着出版商追求利润和绩效的最优化，数据分析变得越来越重要。但也由此产生了风险：它使得基于数学的分析师在编辑决策中的作用不断加强。位于旧金山市的营销进化公司（Marketing Evolution）创始人雷克斯•布里格说：“这使人对传媒业传统的‘政教分离’产生了疑问。”

日益增加的信息流使各公司有能力靠信息的引导追踪个人消费者。互联网上的营销人员自然是领头人，不过传统行业也不甘落后。赌场业巨头哈拉斯娱乐有限公司（Harrah's Entertainment Inc.）的首席执行官加里•洛夫曼曾为哈佛商学院教授，他引导该公司为数以百万计的顾客建立了个人档案。档案模型包括赌客的年龄、性别和邮政编码，还包括他们花在赌博上的时间和输赢情况。这些数据使公司得以通过大量的变量研究赌博，也可以针对个人提供各种不同的优惠活动，从周末度假到美食飨宴。而这些优惠活动都是经过计算做到了利润最大化。过去5年间，哈拉斯公司的年均增长率高达22%，其股价几乎涨了近两倍。

天空中的π

同样，数学还能改变调查行业。不管是在法律界、新闻界还是进行犯罪调查工作，人们长久以来一直靠人脑在各种毫无联系的证据中拣选并发现各类模式。福尔摩斯有时候要在烟斗的缕缕烟雾中才能有所发现。难道不是这样吗？即使在今天，也没有任何机器能从照片、姓名、文字、地理坐标和录像片断这样堆积成山的被计算机科学家称为“非系统性数据”中筛分出有用的信息。

但有些公司已有所突破。科罗拉多的Umbria公司建立了一套系统，实时搜索数以百万计的博客网站，寻找市场情报。Umbria公司将英文信息分解为最小的成份——单词、短语、文法、甚至情感，然后将其转化为数学。随后，该程序对内容进行分析，总结出趋势。它可以向无线通讯公司或快餐馆提供人们对一则广告或一款新口味的三明治的最新反响。

有时候它所发现的趋势甚至超乎研究人员的想象。例如，最近为“佳得乐”运动饮料（Gatorade）所做的一项研究显示，大批年轻人视其为调制鸡尾酒的饮料，他们希望这种运动饮料中的电解质能缓解宿醉。将来，类似的发现还会揭示无数其他模式。这些发现可能帮助银行家识别濒临破产的企业家，或提示警察哪些反叛者正在策划恐怖行动。

位于加州森尼韦尔的雅虎公司办公室中，首席研究员普拉巴卡尔•拉嘎万领导着一个由100名数学家和计算机科学家组成的团队。拉嘎万在一块写满等式的白板上涂画着，宣称以雅虎两亿名注册用户的在线活动为主要内容的巨大的数据储备，是雅虎最宝贵的资源。他相信尚有大量商机有待发掘。当雅虎发现了新方法来满足这些客户的要求、好奇心和渴望时，这些商机就会成为现实。这些未来业务的线索就漂浮在雅虎数据的海洋中。拉嘎万的任务就是对那些数据进行梳理筛选，并找出消费者、电子商户和广告发布人之间的联系。他说，更好的运算法则“是生存下去的关键”。

随着公司持续不断地接收关于其生产过程及工人的新数据，许多公司都会运用数学来提高生产力，并重新组合工作场所。此举不只局限于一个公司。全球范围的大型项目可以通过建立模型来进行任务分割，并将分割后的每个任务块都交给最合适的人选。总部设于巴黎的ILOG公司能够将客户的原始数据转变为可视图形，并预先设定虚拟装配线，该公司的首席执行官皮尔埃•哈伦说：“我们将建立起这样的系统，它能以分钟为单位挖掘信息，这样生产力会以10的倍数增长。”

这听起来更像是天空中数字化的π。其实，这实际上是IBM等公司半个世纪以来一直在运用的数学模型的延伸。二战以后，IBM的研究人员为公司的供应链建立了一个包含原材料、运输时间表及制造车间等内容的数学模型。工作模型完成之后，IBM对其进行数学分析，名曰“最优化”。根据分析结果会提出专门的改进建议，重新调整之后，IBM的经营效率大大提高，成本下降。几十年过后，“最优化”成为IBM服务业务的一个支柱。今天，IBM咨询师正运用数学手段来改进中国的钢铁厂，并重整美国邮政服务的运作。

如果你回顾一下原来的供应链程序，一项重要的要素在其中几乎消失：人。人以数字体现，并且在很大程度上是可互换的。由于缺少数据，数学家们设计的模型无法使之具体化。不过，即使收集到大量的数据，当初那初级的计算机也无法承受。

现在，在纽约市以北半小时车程的IBM研究中心，一个由40名研究人员组成的团队正在对人进行仔细研究。该团队中有数据采集员、统计员和运营分析专家。现在的项目是将原有的供应链程序重新进行调整，然后运用于IBM服务部门的5万名咨询人员。也就是说，他们建立模型的对象是同事，而非机器、熔炉或者进度表。

此项目的负责人是生于叙利亚的萨默尔•塔克里提。他是从安然公司的数学工作室跳槽过来的。在安然的财务风波将公司搞垮之前的若干年间，该公司领先探索高等数学领域，以求开发新的金融交易。IBM于2000年，即安然土崩瓦解的前一年，再次雇佣了塔克里提，任命他为随机分析高级经理。这份工作要求将随机行为包括人类的随意漫游都归纳进数学模型之中。

塔克里提说，建立IBM劳动力模型的第一步是将公司各种记录中的所有数据都收录进来。到目前为止，这些专业人员被分为200个类目。但数学团队还在寻找更丰富的个人信息。塔克里提说，对公司电子邮件调查一下，就会找出雇员之间的信息交流纽带以及他们之间形成的非正式交际网络。相互之间电子邮件往来频繁的工作人员应该可以在工作上更好的协作。日程表的数据可以显示哪个咨询人员有更多空余时间。最后，利用汽车追踪装置，系统能够确切地知道各个咨询人员的所在地。因此，当接到一个合同，比如在马尼拉新建一个呼叫中心，IBM的最优化系统可以在它的全球数据库中精选组建出一支完美的团队。

未来的微积分

上面提到的计划可能要经过数年的时间才能得以实现。“人是复杂的，” 塔克里提说，“你有政策，他们就有对策。机器绝对应付不了。”这就意味着研究人员得把某些人为因素考虑进去，这可能将使设立的模式更加模糊。尽管如此，如果IBM的运作取得成果，它一定会向它的客户提供类似的劳动力管理模型服务。

最终，类似IBM这样的程序迟早会影响到我们。而它要走向何方也不难猜测。经理们运用这些工具，不但可以监控雇员的绩效，还可以监视他们的一举一动来驱使他们提高生产率。他们甚至有可能象网上卖家一样，运用工具把这些权利与销售收入或投资回报联系起来。另一方面，消费者也获得了前所未有的丰富信息，从房地产市场的预测模型到以病人死亡率图表为依据比较肿瘤专家。

这是一个到处充斥着数字的时代。使学生具备适当的数学技能是学校董事会和各国教育部所面临的严峻考验。在美国，这点尤为重要。美国各大学和各大公司研究实验室工作的数学天才多为外国人。即使在“9•11”后，外国人获取留学签证更加困难的情况下，估计在美国的两万名数学毕业生中也有半数是在国外出生的。从计算机科学到工程学许多其他以数学为基础的职业也有类似情况。

现在美国面临的挑战是双重的。一方面，国家必须在本土培养一流的数学家，特别是当外国人发现在美国以外更容易找到机会时。这就要求重新修正教育，鼓励更多的女生和少数族裔学生学习数学，让更多的学生学习使用微积分，这是进入数学殿堂的入门训练。麻省理工学院数学系负责人麦克尔• 希普色说：“这与我们技术团体的未来息息相关。”同时，各学区应该注重在更广阔的人群中培养数学方面的悟性，为将来的商业社会作准备。在将来的商业社会中，数字会不断地出其不意地出现。这可能需要适当地增加数学课程，开设更多的应用学科，如统计学。

私生活

数学革命最重要的一项挑战就是：通过数据发展新的商机而又不牺牲个人隐私。如果客户、患者和工作人员担心自己的生活私密细节在数据库中散播，那么他们很可能会想方设法封锁自己的信息或从网上抹去信息。这就有可能扰乱我们利用数学并从数据中发掘有用信息防治疾病、打击恐怖主义。现在的目标是建立一个体系，在共享团体信息的同时保护个人信息。例如，研究人员在利用HIV或乳腺癌患者的数据库时，可以从年龄、种族、收入、药物治疗、教育和社区等各个方面入手，而不要专注于某个人。

数学家们正处于这场隐私之战的中心。在邻近旧金山市的微软公司实验室，加密员欣西亚•德沃克正在研究设立一套系统，以求在使用数据的同时能保证屏蔽个人信息。德沃克和她的团队使用被称为“噪音”的数字伪装对每条个人记录进行保护。就好比看一张人群的合影。当你放大其中一张脸，它就变得模糊不清。这一方法有望成功，但德沃克也承认有数学天份的黑客还是可以撬开她和她的团队紧闭的大门。她说：“作为加密员，我们知道对手的力量。”

数学还有没有其他的问题？有时候它并不像宣传的那么好用。当数学家们将其领地扩大到人类时，他们使用的新数据很多是未经检验的。Google公司技术主管克雷格•希尔瓦斯坦因说：“人们很有可能会盲目信任数字。”为了纠正可能的错误， Google和其他机构把数学家及其他学科的专家，包括社会科学专家放在同一个团队。

正如数学家需要全力对付人类的古怪行为和难解之谜一样，经理人员和企业家也必须温习一下数学方面的知识。中层管理者可以将大部分工作交给手下的工作人员去做。但是，他们仍然必须了解足够的数学知识，从而能够对数字背后的假设提出质疑。斯坦福大学商学院的<?xml:namespace prefix = st1 />金融学教授保罗•弗莱德勒：“现在很容易就可以用一大堆分析数据和图表把人搞懵。我们得教会企业中的人辨别出哪些是唬人的东西。”

当然，还要辨别哪些是机遇。随着世界信息日益进入数学领域，数字王国成为一个日益广大的汇集之地。它是一个渗透型实验室其中充满了让人惊叹的各种关联，它也是新行业的诞生之地。是的，现在是了解数学的最好时机。

谢谢你能辗转来到这里，平时我自己也经常回这里来读一读它，这篇是关于我和数学的一些回忆。

因为直到小学六年级我才敢承认自己学会了写日记，所以这之前的数学回忆十分不可靠。不过有些事件有必要

我一直以为如果每个人都能足够勤奋好学，从而领略到足够多的数学和数学的历史，这样世界上所有的灾难也许都可以被预言，所有的悲伤和痛苦都能轻松化解。现在我还这么乐观认为，数学就具备着这样的力量。

人类曾经花费了辛勤而艰巨的劳动来建立近代数学，考察数学发展的历史中的任何一面都能引起我们的惊奇和赞叹。
遗憾的是，并不是每个人都有这样的机会或者有空闲查看数学家的原始著作和手稿，更遗憾的是，太多的人对数学的重要性认识太少，很多人把数学思维停留在做题上，当我读到《可恶的函数》，这是一个中学生在博客里抱怨新近接触的解析几何课程是多么的枯燥，里面提到：

两条平行线相交（这个理解显然有误，应该是两条垂直的线）起来，就成了坐标，一条X轴，一条Y轴。在上面滚过一个苹果，就说那条线叫抛物线，有完美的弧度。几条虫子弯弯曲曲挂着，就是什么对称轴。

真是的,那些数学家有空没事干吗?非要发明什么函数,有空的话,干嘛？去打打高尔夫,或者响应绿化大地妈妈,到荒岛上种点铁树,万年青,密密花啊草啊!      

怎么会有函数的呢……

 关于数学的学习，每个人都或曾有过很多天真的疑惑……

为什么我们非要在坐在教室里规规矩矩的听一个老师讲数学，都说大自然是用数学语言写的，为什么就不能在做游戏里，在劳动里学习数学呢？为何不听听大自然的呼喊？相信做学生时的你心中也曾有着太多说不出的感慨。

让我们翻开历史的这一页，无独有偶：据说天才少年笛卡尔本人也有类似的抱怨，不过可以肯定跟XY轴无关，因为那个时候它们的课程里没有坐标系这样的章节，但学习在他看来，依然很乏味。他在年轻时就已经有强烈的志向：要洞悉人与宇宙的本质。他干脆申请长假，理由是一旦天气寒冷就打不起精神，校方领导竟然批准了。幸运的是他第一个发现了认识大自然的的一种新方法，即把大自然的规律呈现在一张白纸上，他发现数学是美的，它是世上最动听的乐章。可是好景不长，面对大自然中的种种新奇和社会的种种不公，他越发困惑和焦急，不久似乎也倦了，带着“我思故我在”的箴言，又回到了对哲学无止境的思考中去了。

正如我的一个作家朋友所说：人类若不是为了工作，确切的说是为了生存，为了生活，谁不想永远永远的沉醉在大自然的怀抱里!

        虽然数学珍珠虽然散落在各个角落，但在生活场景中现场直播的我们依然难以亲近数学。我们缺少一些从数学视角对生活的观察力和分析力。我们甚至无法把日常生活常识和数学联系起来，另一方面我们的数学也缺乏生活的异趣。

       为什么有这么多人认为数学与生活脱节呢？我努力尝试用不同的方式来介绍数学，你可以在文章分类的那么繁杂的名目上看出来。我认为数学与文学、心理学、法律甚至是哲学都是息息相关的。而我们最需要的是有一个文学上的努力，这个空间就是在做这样的努力。

生活不也是一道道数学题吗？让我们亲近数学，然后让数学亲近我们的生活。