这是1999年美国大学生数学竞赛（MCM）试题：

    美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。
    作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。
    假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。

在2004年6月，一颗被命名为Apophis（阿波菲斯，埃及神话中的灾难和破坏之神）的小行星被科学家发现，它是一颗绕太阳运行的近地小行星，其形状不规则，直径仅320米左右，质量约4200万吨，这颗被命名它此后失去踪迹，直到6个月后的圣诞前夜又再次被发现。科学家们在NASA的“近地天体计划”办公室中计算出，“阿波菲斯”将在2029年4月13日与地球擦身而过。

人类未来类似的担忧还会不会有？

事物总有枯燥和精彩的两面吗？元数学似乎就是一种枯燥的数学理论，它似乎只研究数学琐碎、枯燥的东西：数学基础和数学哲学。比如这张图，到底想说什么，2+2为什么是4？

这个网页上有很多和数学符号有关的图片，也许数学爱好者们在编辑数学网页时用的上，至少在编辑公式时用的上，它是http://us.metamath.org的一部分，而后者是http://metamath.org的一部分。不只是局部，整体看来也很枯燥。

在前面两节，我介绍了复数逐渐为人们所接受的历史，还从黎曼几何发展史的角度简单的介绍了复变函数论的建立。今天我们再换一个物理（很意外，居然法国科学家居多）视角。从18世纪开始，微积分的应用包括了热力学，天体力学，流体力学以及光、电和磁学的研究。我们来看看在微积分扩展到多参数函数的过程中的一段历史故事。

在天体力学上，人们导入了偏微分方程用来描述行星运动，运动的粒子（开始时，物理学家在计算时把行星当作粒子看待，直到格林定理在1828年被表述）的相互作用可以表示为微分方程，而其解就可能是该粒子的运行的轨道。那时的微分方程式越来越多而且复杂，提高行星运动理论的精度，成为了天体力学的一个主要课题。由于难以求出微分方程的确切解，这导致了逼近方法的建立。（事实上，行星并不是沿圆滑的椭圆形轨道运行的，而是在这以轨道上摇摆着前行，20世纪，人们才发现可以用混沌理论解释太阳系动力学）1747年，欧拉在他的《无穷小分析引论》中，探讨了用三角级数逼近行星运动的轨迹。1788年，法国数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)的长达500页的《分析力学》一书中没有一个图。

这种用截取幂级数来得到近似函数，用保留尽可能多的项来取得更佳的逼近的想法受到了一些数学家的批判。1860年，法国天文学家查尔斯·德洛内(1816—1872)就给出了近60种方法来评估他给出的一个巨大的方程式。

而在电磁学领域，19世纪的中期产生了许多关于电和磁的实验和理论，在此之前，法国物理学家库仑(1736—1806)通过实验发现两个电荷间的力与两电荷所带电量的乘积成正比，与两者距离的平方成反比，物理学家尝试在重力学中的建立的模型和假设应用到静电现象中去，虽然与万有引力公式形式相同，但与引力不同的是静电力有正负之分。之后，法国物理学家安培(1775—1836)于1826年使用数学方法证明了：同静电力一样，电磁力也满足平方反比定律。他的实验发现有电流的圆形圈，就像普通的磁铁那样，有吸引和排斥作用。根据这一发现，他推测磁体的微粒中，也存在着很小的圆形电流。如果这些微粒的电流都在同一方向流动，即产生磁力。

1873年，麦克斯韦继法拉第之后，(James Clerk Maxwel，1831—1879）发表了论文《电和磁》，论文中主要的概念是电场和磁场，他回避了以太本质和空间本质的探讨，假设了场(action)的存在以及场与场之间、场与媒介之间存在着相互作用。

麦克斯韦认为空间是一个具有弹性的连续体。因为空间是连续的所以能够从点到点运动；因为空间具有弹性，所以媒介本身可以贮存(zhùcún)动能和势能。他大量使用了势能理论和微分几何（由黎曼开创的新领域），并分别又用四元数符号的形式给出了他的方程式。而我们现在所看到的矢量形式的麦克斯韦方程式是由三维向量代数创始人之一的亥维塞(Heaviside Oliver，1850 — 1925) 给出的。
(图注一：人类在很早的时候，就开始了行星运动规律的研究。图注二：云层中的放电现象。)

1833年，28岁的汉密尔顿在爱尔兰皇家学会的一次讲演中，把复数a+ib表示成（a,b）这样的序数对，并给出了a+ib的加法和乘法的几何解释。

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(a，b）+(c，d) = (a+c，b+d)

(a，b)·(c，d) = (ac-bd，ad+bc)

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后来的十年时光里，汉密尔顿试图寻找三维空间复数时，他发现自己被迫要牺牲乘法交换率，所以汉密尔顿把二维复数扩展到了四维，即定义z=a + ib + jc + kd （其中i^2=j^2=k^2=ijk=-1，ij=k，ji=-k ，jk=i， kj=-i ，ki=j， ik=-j）

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又过了大约十年，1854年同样是28岁的贝恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)在Gottingen大学进行了他划时代的就职讲演，他认为几何本质上是由一个n维有序数组的集合与该集合上特定的规则组成，而且变量上的任何关系都可以看成是“空间”，他的这一思想推广了空间的含义。后来黎曼转向理论物理的研究，为爱因斯坦建立广义相对论扫清了障碍。 1866年7月20日，黎曼过早地离开了人世，也过早地离开了数学。

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如今，听到黎曼的名字很容易想起的是黎曼球面，黎曼球面是最简单的黎曼曲面，它可以显示为三维实空间中的单位球面与极点N(0，0，1)到平面z = 0的球极投影，可以将该平面等同于复平面z= x + iy，黎曼球面上存在的圆，如果不过N点，那么对应复平面上的一个圆；如果过N点，则对应复平面上的一条直线。(见CG科普电影数学漫步-9中给出的证明)

.“黎曼与柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人，但他们的出发点及研究方向各有不同：柯西代表分析方向，黎曼代表几何方向，魏尔斯特拉斯代表函数论方向，在黎曼发表他的博士论文之前，柯西已对复变函数论进行了30年之久的研究，他已得出复变函数的合理定义，得出柯西-黎曼方程，还发现了复变函数的积分，并得出其积分定理，得出留数、柯西积分公式以及幂级数展开式，他和他的后继者对于多值函数也有所涉及，但柯西并不太理解多值函数，他甚至对极点与支点的区别也不太清楚，他遗留下的这个领域正是黎曼发挥他的创造性的地方。”——摘自胡作玄所著《黎曼》

数学中有很多相互对应的数学分支， 从大的视角来看有纯数学和应用数学，几何和代数。具体到几何和代数有欧式几何和非欧几何、线性方程和非线性方程。按照研究的数学结构则有算法数学和分析数学，分析数学里还分实分析和复分析等。这些领域在数学史上的相对重要性随着时代的要求发生变化，有各自的辉煌和暗淡的历史。

有时候看一些数学家的所专注领域的介绍，根本理解不了，复分析就是这样一个领域。前面获得伯格曼数学奖的数学家大多是复分析领域的精英，在二十世纪数学家排名(前100位)中有很多数学家，如阿尔福斯（Ahlfors，1907—1996）和Nelivanna等都把复分析作为自己的主要工作内容，虽然该领域有一个美丽的公式为大家所熟知：e^iπ＋1＝0，但这么多数学家乐于此道，不全是为了追求美。

复分析（complex analysis）也被称复变函数，是实变函数微积分的推广和发展，所研究的是定义域与值域均为复数集的函数。就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，我们也可以说复变函数是十九世纪数学最独特的创造。当时的数学家公认复变函数是最丰饶的数学分支，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

复数并不是复杂的数，其概念起源于求方程的根。16世纪时，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在近三百年的时间里，人们对这类数不能理解，被当时的人们称作不可能的数。最早的复变函数的方程出现在法国数学家达朗贝尔的一篇关于流体力学的论文中，后来欧拉也发现了它们。所以复分析也被认为是为流体力学而诞生的。正如后面所介绍的那样，在数学家的努力下，复分析在其它学科得到了广泛的应用，而且在数学的许多分支也都应用了它的理论。

图注：数学家们在十八世纪末就认识到平面上的点可与复数一一对应。为了向数学家致敬，把复平面(Complex plane)又叫高斯平面，把这种复数表示成的矢量图叫做阿尔冈（1777-1885）图（Argand diagram），把图中的公式叫做欧拉公式。而把这种在复分析中用几何方法来说明、解决问题的内容叫作几何函数论 。

运用欧拉公式很容易就能计算出一个复数的n 次方：（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n =e^inx =cos(nx)+isin(nx) 这个公式是数学家棣莫佛首先发现的，现被称作棣莫佛定理，该定理也可以应用到双曲函数。在《Heroes in my Heart》中简单提到过这位老英雄。

一千多年前，唐代大诗人白居易这样论诗：

            诗 白居易
绮美　瑰奇
明月夜　落花时
能助欢笑　亦伤别离
调清金石怨　吟苦鬼神悲
天下只应我爱　世间唯有君知
自从都尉别苏句　便到司空送白辞

书写下来像座塔，所以叫做宝塔诗，和塔一样随意，是不是很有趣。
            竹 张南史
披山 连谷
出东南 殊草木
叶细枝劲 霜停露宿
成林处处云 抽笋年年玉
天风乍起争韵 池水相涵更绿
却寻庾信小园中 闲对数竿心自足

看过千奇百怪——整数们的特别之处以及其英文出处的朋友，一定大呼过瘾，每个数字其实都不平凡，各有各的特点；我的中学同学胡廉：数学与信息科学专业，目前辗转大江南北，致力于数学的实际应用，最近写信推荐了一个大数字“142857”——下面我转载于此，相比全文有所删节。据说这个数字最最神奇。其实他特别好记住：1/7 = 0.14285714285714 …是142857是个循环节。

看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？

我们把它从1乘到6看看

142857 X 1 = 142857

142857 X 2 = 285714

142857 X 3 = 428571

142857 X 4 = 571428

142857 X 5 = 714285

142857 X 6 = 857142

同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。[此为奇一]

那么把它乘与7是多少呢？
我们会惊人的发现是 999999 [此为奇二]

而
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99 [此为奇三]

最后，我们用 142857 乘与 142857
答案是：20408122449 前五位+后五位的得数是多少呢？
20408 + 122449 = 142857 [此为奇四]

关于其中神奇的解答

“142857”它发现于埃及金字塔内， 它是一组神奇数字， 它证明一星期有7天， 它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次， 到了第7天，它们就放假，由999999去代班， 数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次， 你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案， 它还有更神奇的地方等待你去发掘！ 也许，它就是宇宙的密码， 如果您发现了它的真正神奇秘密┅┅
请与大家分享！

142857×1＝142857（原数字）
142857×2＝285714（轮值）
142857×3＝428571（轮值）
142857×4＝571428（轮值）
142857×5＝714285（轮值）
142857×6＝857142（轮值）
142857×7＝999999（放假由9代班）

142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）
142857×9＝1285713（4分身）
142857×10＝1428570（1分身）
142857×11＝1571427（8分身）
142857×12＝1714284（5分身）
142857×13＝1857141（2分身）
142857×14＝1999998（9也需要分身变大）

继续算下去……

以上各数的单数和都是“9”。有可能藏着一个大秘密。
以上面的金字塔神秘数字举例：1＋4＋2＋8＋5＋7＝27＝2＋7＝9；你瞧瞧，它们的单数和竟然都是9。依此类推，上面各个神秘数，它们的单数和 都是9；怪也不怪！(它的双数和27还是3的三次方)无数巧合中必有概率，无数吻合中必有规律。 何谓规律？大自然规定的纪律！科学就是总结事实，从中找出规律。

任意取一个数字，例如取48965，将这个数字的各个数字进行求和，结果为4+8+9+6+5=32，再将结果求和，得3+2=5。我将这种求和的方法称为求一个数字的众数和。

        所有数字都有以下规律：

        [1]众数和为9的数字与任意数相乘，其结果的众数和都为9。例如306的众数和为9，而306*22=6732，数字6732的众数和也为9（6+7+3+2=18，1+8=9）。

        [2]众数和为1的数字与任意数相乘，其结果的众数与被乘数的众数和相等。例如13的众数和为4，325的众数和为1，而325*13=4225，数字4225的众数和也为4（4+2+2+5=13，1+3=4）。

        [3]总结得出一个普遍的规律，如果A*B=C，则众数和为A的数字与众数和为B的数字相乘，其结果的众数和亦与C的众数和相等。例如3*4=12。取一个众数和为3的数字，如201，再取一个众数和为4的数字，如112，两数相乘，结果为201*112=22512，22512的众数和为3（2+2+5+1+2=12，1+2=3），可见3*4=12，数字12的众数和亦为3。

        [4]另外，数字相加亦遵守此规律。例如3+4=7。求数字201和112的和，结果为313，求313的众数和，得数字7（3+1+3=7），刚好3与4相加的结果亦为7。

        令人奇怪的是，中国古人早就知道此数学规律。我们看看“河图”与“洛书”数字图就知道了。以下是“洛书”数字图。

4 9 2
3 5 7
8 1 6    ( 洛书)

      世人都知道，“洛书”数字图之所以出名，是因为它是世界上最早的幻方图，它的特点是任意一组数字进行相加，其结果都为15。其实用数字众数和的规律去分析此图，就会发现，任意一组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为9，例如第一排数字的一个随机组合数字为924，第二行的一个随机组合数字为159，两者相乘，其结果为146916，求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27，2+7=9，可见，结果的众数和都为9。
      这种巧合不能说明什么问题，让我们再看看“河图”数字图。

            7
            2
    8 3 5 4 9
          1
          6        (河图)

      “河图”的数字图没有“洛书”数字图出名，这是因为人们未能动发现其数学规律，但是用众数和的规律去分析它，就能发现它的奇妙之处。
      “河图”数字图中，任意一组数字互相进行相乘，其结果的众数和都为6。例如27165*38495=1045716675，求结果的众数和，1+4+5+7+1+6+6+7+5=42，4+2=6，可见，结果的众数和为6。

      由此可见，“河图”的数字图亦不可能是随意摆设，否则，其结果的众数和不可能都为6。从上述两个数字图可知，古人十分重视数字6与数字9。无独有偶，太极图的就由数字6与数字9组合而成。

       太极图的左边部分为数字6，太极图的右边部分为数字9。
      “太极图”﹑“河图”﹑“洛书”通过种种手段暗示数字6与数字9的重要性，其中“河图”与“洛书”更是在熟悉数字众数和规律的前提下编制而成。但是，据我们所知，数字众数和的规律刚刚被本人发现，同时也没有任何证据显示古人已经知道这数学规律。

       还有一个很有趣的数学现象，凡是众数和为9的数字除以36，其余数必为9或18或27或0（36）。
      一个物体从数字36（0）的位置出发，运行一圈（转过360度）就能回到原位。在运行过程中，物体的运动方向经过四次转变，每次都发生在数字9或18或27或是36（0）的位置上，可见，处于这四个数字上面的物体，其性质面临着改变。这即是说，众数和为9的数字往往代表着物质性质的完全改变。

      巧合的是，《周易》之中最流行九九归一的说法，数字9亦被称为老阳，即是说，数字9代表了一个物质阳气的终结，新一轮的周期又要开始了。这种说法刚好和上述数字现象不谋而合，从上图可知，一个物体一旦经过数字9而处于数字10的位置，其众数和就变为1，刚好处于数字10的物体，其运动方向与处于数字8位置的物体的运动方向相反，一个是向上运动，一个是向下运动。

      总之，古代中国人的智慧远比现代人想象中的聪明，《周易》看来是一本超出现代人智慧水平的书籍，“太极图”的创造人更是聪明绝顶。 常听周易如何如何神奇，小凡今日一嗅，果然非同一般。

关于数字的介绍，以下文章可以一读；友情提醒务必请看完三后再看四：

1、数学问题征解4：求神奇的九位数

2、解读古埃及著作

3、万物皆数：数-质-量

4、和数学在一起的历史

在几何图形的证明和计算中，经常需要添加适当的辅助线作为中间桥梁，使已知与已知之间，使已知和未知之间相互沟通，从而使较难的问题化为直观、浅显的问题．

再别康桥

轻轻的我走了，正如我轻轻的来；
我轻轻的招手，作别西天的云彩。
那河畔的金柳，是夕阳中的新娘；
波光里的艳影，在我的心头荡漾。
软泥上的青荇，油油的在水底招摇；
在康河的柔波里，我甘心做一条水草！
那榆荫下的一潭，不是清泉，是天上虹；
揉碎在浮藻间，沉淀着彩虹似的梦。
寻梦？撑一支长篙，向青草更青处漫溯；
满载一船星辉，在星辉斑斓里放歌。
但我不能放歌，悄悄是别离的笙箫；
夏虫也为我沉默，沉默是今晚的康桥！
悄悄的我走了，正如我悄悄的来；
我挥一挥衣袖，不带走一片云彩。

mathematical bridge——康河上最古老的桥

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。该河流经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座桥, 另一座桥则连接着两个岛．星期天散步已成为当地居民的一种习惯, 但试图走过这样的七座桥, 而且每桥只走过一次却从来没有成功过．当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大数学家欧拉通过将实际问题抽象化的方法证明了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的．欧拉的解答，开创了拓扑学研究的先河．

In World War II, several of the bridges were bombed, and later some were replaced. In present-day Königsberg, now Kaliningrad, there are now only five bridges, and you can now find a path that allows you to cross each bridge exactly once.
二次世界大战中，哥尼斯堡的树座桥梁被炸，随后一些桥梁被替换。 如今,哥尼斯堡(现称加里宁格勒)只有五座桥梁，你可以找到走过这五座桥且每桥只通过一次的路线了。 参见英文原文炸弹破解了欧拉无法解决的问题 （感谢fool提供的译文）