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2009-11-18 下午 3:10

小凡序:这是我的翻译初稿,可以帮助你理解本文的要点,但无法与专业人员的翻译相提并论。第五段和第九段得益于robert和boastox的帮助,还有蒙金月,在此再次表示由衷的感谢!

以下是译文全文,请勿转载复制,因为本文有待进一步修改。

不管你是为了寻找石油,失去的和弦或是一种更好的胡萝卜,数学都是关键。伊恩——斯图尔特

像许多业余吉他手一样,我总是想知道如何弹奏《A hard day's night》(又译一夜狂欢)的开场和弦。多年来,我花很多时间练习,但有一件事非常奇怪:无论怎样努力,我却一直不能保证完全掌握。

最后,揭开谜底的并非是音乐,而是数学。五年前,在甲壳虫迷兼达尔豪斯大学(Dalhousie University)的数学教授杰森-布朗(Jason Brown)使用了一种叫做傅立叶变换的方法分析了它起始和弦(the opening chord),他将其拆分为基本乐器的声音发现:原来甲壳虫乐队有用钢琴为他们的吉他伴奏,只不过与哈里森的吉他混合在一起,隐藏得很深。

不只是音乐会受益于一点数学技术。最近在体育版面,提到了一种新型足球,实际上在球飞行的方向做了点小小文章。文章中只字未提该设计是建立在计算流体力学(computational fluid dynamics,简称CFD)的数学领域上,使用复杂的方程式,研究空气如何流过足球,方程组不仅考虑是足球的表皮,还考虑到了每个接缝的缝合处。

这是关于数学的一些奇怪的事。除了这些怪癖的事情,在日常生活中也有举不完的实例。到底有多少数学潜伏在日常物品背后是一个出人意料的发现——比如足球。

我们知道,数学和技术齐头并进:谷歌的搜索引擎的内部运作就依赖先进的数学几个领域,例如神经网络理论(network theory),矩阵代数(matrix algebra)和概率论(probability theory)。那里的研究人员得到高度的激励,使其尽可能把工作做的精确:改进蕴藏于方程式等式之下的数学性的东西,借行之有效的广告赚取大量的现金。

让我们思考更多的东西也许更为脚踏实地。例如:超市蔬菜通道里的胡萝卜。胡萝卜是世界上最受欢迎的蔬菜,它仅仅排在马铃薯之后。它有数百个品种,不同的颜色,不同的味道,抗病性也各不相同,由于它有能力生存数周,而在一辆货车正在整个欧洲的一半拖着。

所有这些类型胡萝卜都是经过专门繁殖。一种方法就是交叉繁殖培育新品种,另一个更加现代的创新是基因工程。双方在很大程度上都依赖于数学:它的决定所需的统计计算中使用的品种是最好的,在审判提供必要的资料设计。

现在,我首先得承认,当你购买胡萝卜,你不需要了解这样的数学。但如果有人需要,那么我们就购买不了胡萝卜。老式的品种不工作时,你必须出售胡萝卜每天数以百万计。没有数学就没有蔬菜。

总之,就在你拖着那袋胡萝卜到你的车子旁边并把它堆在后备箱之后,你发现车快没油了。 不成问题:超市也有汽油销售。把油枪插入你的汽油箱是不需要你具备任何数学知识的。-但问题是如果我们真的不具备许多极其复杂的数学知识,加油站的油泵里是不会有汽油的。

9月初,英国石油公司宣布他们在墨西哥湾油田一个大规模的的新发现,但你没有找到石油7英里下跌打井随意:你必须首先知道在哪里可以找到。

鉴于一个在地下岩石准确的地图,地质学家可以识别在对石油可能被困的地方。但是,你如何作出这样的地图吗?您砰砰巨响在表面上,并听取返回的回声。通过做正确的数学,然后可以在哪里工作,不同的岩石层。

这是一个复杂的问题,因为来自不同的岩石层的回声相互干扰。这好比试图找出一个大声大声,听声音的跳出了墙壁城市街道计划位。它采取由专业数学家的工作几十年来与方法,是切实可行的,准确的:一个大的石油公司现在确实对这些复杂的计算万四分之一每天。几个世纪以来,数学一直是科学和技术的主要动力,其结果已经改变了我们的世界。我的妻子和我有一个新的孙子,在几个月前,因为使用了超声波扫描。所以我们能够观看在他出生之前影碟,采用这种声音是如此高调,人耳无法感知它。它很像石油勘探:听设备的回音,并用数学重建,必须有产生它们的形状。

现代医学使用许多不同的扫描仪——CT扫描,PET扫描,超声波。它们的共同特点是用数学计算正在扫描分析该设备是专门为探测信号形状。而CT扫描的数学基础原理,是由一个世纪前的奥地利数学家拉冬(Johann Radon,1887-1956)阐述的。

今天,医学研究人员正在开发新的数学方法来更准确地检测癌症。在显微镜下,癌细胞在一般的人看来上同健康的细胞没有什么不同,其实它需要训练有素的眼睛去分辨。数学上的分形(fractals)是一种非常复杂的几何形状,这正是医生所要关注的,它是协助医生区分健康的细胞形态和癌变的一个重要特征。

不只是这些,数学对保持环境清洁也起着重要作用。气候变化就是一个例子。即使检测到它,你要比较什么是真正的会发生什么事情,如果地球上已任其自生自灭的情况。但是,我们不能重新地球的历史,所以我们必须将如何演绎没有人为干预的情况。方法之一也是我们能够做到的,就是数学气候模型(the climate mathematically)。

是的,我们的想象还有电子产品-移动电话,DVD播放机、数码相机、互联网和卫星定位都依靠大量的数学。是的,我们使用它,以确保飞机航路畅通,让F1赛车驾驶得非常快,保障巨大的塔楼不轻易倒塌。但是,我们很少意识到到的是数学是入侵我们生活的每个角落的程度。它在政治,民意调查(opinion polls)和重点工程。它控制交通灯,确保获得进出体育场馆的人群安全,为我们的眼镜镜片设计。

而我们之所以没有注意到它那是完全是理智的,数学隐藏在幕后。如果我买胡萝卜,我不希望去了解遗传试验相关数学知识。如果我要给我的汽车加汽油,我也不需要知道如何解决地震波的反问题(inverse problem for seismic waves)。但是,如果我想了解世界是怎样运转的,我必须明白数学一直都存在。否则,我会觉得这个世界是虚无的。如果我们许多人也这样做,很快就不会有足够的数学家,以确保顺利工作。

 
2009-10-29 下午 12:05

今天打开邮箱好高兴!好友胡廉推荐了一篇不错的文章。作者Ian_Stewart最早发表在《英国每日电讯》的网站上原文《How maths makes the world go round》看这里

“数学是性感的新摇滚”是Ian_Stewart在给《数学的故事》一书作序中提到的新潮观点,那是七年前的事情,今天他又关注起carrots来了。生活中的萝卜有很多种,而右边这种习惯被叫它胡萝卜,也有叫它红萝卜的,但按颜色来起名字我觉得更合适。作者在文章中说,实际上,无论是寻找黑色的石油,还是栽培红色的萝卜,数学都是最关键的。但是买萝卜和给汽车加油都不需要你事先了解这些数学,但数学是真实存在的。

图注:是数学使得遗传育种产生一个个更好的胡萝卜或者红萝卜

 
2009-10-08 下午 12:57


和倪倪(QQ:116869091)合译的《和你的医师建立伙伴关系》可以去google docs下载,我英文之差在读书时就很出名,如今浏览外文常常求助于朋友,在此小凡给所有给予我英文翻译上提供各种帮助的朋友们说声谢谢。

这篇译文我十分喜欢,可能是爱屋及乌吧,因为作者理查德-曼凯维奇是个数学家,也是一个兴趣广泛的科普作家,尤其喜欢从文化的角度关注数学和社会,他是《数学的故事》一书的作者。
(详见http://www.douban.com/subject/1005319)在本文中作者似乎找到了一个例子来说明:唯有人与人的真诚的沟通和相互信赖才能享受科学带来的最大福祉。

松鼠桔子认为:本文偏于实际而并不深入,是一个指导性的东西,实用性不大。但翻译得比较准确,语言也放松。这得感谢倪倪最后的校对。

 
2008-11-29 下午 6:45

译文由FEIGE_MINGE花一周时间给出,小凡在此深表谢意。


作者:Amelia Sparavigna e-mail :amelia.sparavigna@polito.it
译者:FEIGE_MINGE         e-mail :yiming.chen@cix.csi.cuny.edu


对称是一种自然的美,镜像静寂,旋转灵动。在本文中,作者艾米丽亚考察了在古老的印章上保存的对称性的图像雕刻,包括邮票的封印。这些物体出现在公元前3000年的美索不达米亚。我们将看到古代人类关于对称的想法有很多,但是大多朴素简单,大量的对称性图案无疑是一个创造性的人类文化。类似的情形不只是在埃及,在古代中国也一样。

译文和原文出处在这里,欢迎参考:
http://zhidao.baidu.com/question/117988765.html

http://zhidao.baidu.com/question/117988771.html
http://zhidao.baidu.com/question/117988949.html
http://zhidao.baidu.com/question/117988956.html
http://zhidao.baidu.com/question/117988959.html
http://zhidao.baidu.com/question/117988960.html


原文出处:http://cogprints.org/6275

 
2008-10-25 下午 3:11

原文出自:http://zqb.cyol.com/content/2008-10/22/content_2398856.htm

“5”意味着什么?在你我看来,这可能仅仅是一个数字;但在古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯眼里,它代表着婚姻。

     公元前5世纪,当孔子在东方向三千弟子宣讲“仁爱”之时,与他同时代的毕达哥拉斯,则在意大利南部的克罗顿城,向300多个学生解释自己“万物皆数”的哲学观点,并反复强调算术和几何的重要性。

     在这个醉心于数字的人看来,世界的基本属性是数字,而每个数字都有其特别意义。比如,“2”代表女性和观点的差异;“3”代表男性以及认同的和谐;所以“5”就代表婚姻,因为它是“2”与“3”的和,意味着男人与女人的结合。在毕达哥拉斯的视野中,世界就像他眼中的数字一样唯美。

     这看起来难免唯心,但正由于对数字的着迷,他对数字的研究拓展到了数论这一数学的重要分支。我们今天所熟知的“奇数”、“偶数”和“完全数”等一系列数字的基本性质,还有“毕达哥拉斯定理”,就源于毕达哥拉斯的证明。他的老师,则是被后人誉为“希腊七贤”之首的泰勒斯。在泰勒斯的指导下,他深入学习了数学和天文学。

     不过,学成归乡时,师出名门的毕达哥拉斯由于没有教学经验,根本招不到学生。他显然不愿看到自己的人生出现这样的缺憾。据说,为了将满腹学问传授给别人,他花钱雇来了第一个学生。他们约定在路上相见,讲授完当天的课程后,他会付给小男孩当天的报酬,直到花光所有积蓄那天,他不得不告诉对方课程到此结束。

     搬到克罗顿后,毕达哥拉斯创立了一所成人学校,被人称作毕达哥拉斯学会。学会的宗旨之一,是进一步探索实体世界与数学之间的关系。

     最初只研究整数的毕达哥拉斯,也开始研究分数。在接触里拉琴时,他发现一些发出最悦耳的和声的琴弦,其长度成简单比例。于是,他认定,整数的比例构成了音乐和声的基础。进一步研究后,他得出了确定ABCDEFG7个音阶中所有音符弦长的比例。

     但故事并未就此结束,接受过天文学教育的毕达哥拉斯,又把他有关数字和音乐的唯美主义想象,散发到整个宇宙。

     通过观察并记录几个天体各自绕轨道一周所需的时间,他确定出轨道半径,并提出了他的“天体音乐”理论。因为,通过计算他发现,月亮、水星、金星、太阳、火星、木星、土星这7个天体与地球之间距离的比例,恰好与A到G的7个音阶的比例相等。他认为这些天体在宇宙中的运动会谱出一种自然和谐的音乐。这个看似极具美感又令人兴奋的理论,当时得到了普遍认可。

     不过,这个用理论建构出来的和谐而唯美的天体世界,很快就破碎了,科学家们发现了其理论的错误。而因为唯美,毕达哥拉斯还笃定天上运动的发光体有10个。因为在他眼里,“10”是个神圣而完美的数字,是“1”、“2”、“3”与“4”的和。尽管只能看见9个发光体,他依旧断言必定还有一个看不见的“对地星”。这种“抹杀事实的戏法”,后来遭到亚里士多德的批评。

     而在毕达哥拉斯学会里,毕达哥拉斯也试图发现和建构他所想象的唯美世界。即便是学会成员遵循的行为准则,也多少有些唯美和神秘气息。他们不吃豆子,不碰触白公鸡,在他们看来,这两者都是神圣的象征。由于推崇慷慨,他们不仅共享财物,连数学上的发现,也被视为公有。为了强调男女平等,学会不顾当时的禁忌,允许女性参与学习和传授知识。在热心的参与者中,有个叫西雅娜的女子,后来成了毕达哥拉斯的妻子。

     这些为了同一个宗旨而聚在一起的人,给后世留下了丰富的科学遗产。

     当然,学会还有一个重要的原则是“服从”。在毕达哥拉斯演讲时,所有的学生都只许聆听不许提问。

     毕达哥拉斯一度坚信,宇宙万物均可以表示成整数或分数的形式。可正是通过他所证明的毕达哥拉斯定理,他和他的学生们发现了等无法表示成整数或分数的无理数。这无疑彻底颠覆了他“万物皆数”的主张。最初,他命令学会的成员们发誓,不将这一发现告诉外人。

     然而,消息还是不胫而走,毕达哥拉斯在心中精心建构的那个与数字一样完美的世界,瞬间破碎。据说,是学生希帕索斯一不小心走漏了风声,后来希帕索斯神秘地淹死在了海里。

     而毕达哥拉斯学会,这个相信数字与宇宙真理本质合二为一的“宗教团体”,也在公元前500年左右,被一群愤怒的暴民烧毁。毕达哥拉斯在现实中苦心经营的唯美世界,也就此坍塌。他和学会所证明和发现的数学定理,以及提出的数学概念,则继续流传后世。

 
2008-10-13 下午 1:20

如今,应用解析几何的方法来探讨数学领域中许多深奥的数学问题很是时髦,关于数字本质属性的的问题貌似已经被学者忽视了。实际上我们对数字的本省的认识并没有因为解析方法的应用而有所增加,在多数情况下,数论研究和最精妙的几何问题相比,我认为前者所需要的洞察力更多,所以算术问题不应该被忽略。

最伟大的天才们一定认为解析几何已经接近最伟大的创造,进而认为数字的规律不值得投入最大的努力和热情,我了解到即便是学识广博的笛卡尔本人经过冥思苦想也没有合理的解决亲和数问题,在他之后,v.s作出了广泛而有造诣的工作。两个数中,其中任何一个数所有真因数的和等于另外一个数,符合这个规律的两个数对叫做亲和数(大凡觉得叫“默契数”或“友好数”、甚至相亲数都很合适,人文韵味岂不是变得更浓?但数学家们似乎不太注重包装)。

比如220和284就是很好的一对。220所有真因数的和是1+2+4+5+10+11+20+22+44+55=284;反过来284所有的真因数和则是1+2+4+71+142=220。

待续……

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2008-10-10 下午 11:48

知识准备:1.亲和数是一种古老的数。——摘自百度百科(写得很精彩)

                  2.欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)档案: http://www.maa.org/Euler

译者序:数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是:阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语,牛顿因为苹果闻名世界,高斯少年时就显露出计算天赋,唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。欧拉绝非浪得虚名,实际上,欧拉19岁开始发表论文(一篇关于船桅的论文),直到76岁(计算得出了气球上升定律),半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。 在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。
(1)分式里的欧拉公式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0;当r=2时值为1;当r=3时值为a+b+c
(2)复变函数论里的欧拉公式:
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x,得到:e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。
(3)三角形中的欧拉公式:
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=R^2-2Rr
(4)拓扑学里的欧拉公式:
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围。
(5)初等数论里的欧拉公式:
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

我选择这篇简短的译文是因为它在一定程度上阐述了这位前辈的数学喜好。限于篇幅,译文全文见亲和数(下),更多请参阅英文原文《on amicable number》

 
2008-09-06 下午 4:27

翻译: 雪山飞壶

50:可用两种方式表示成两数平方和的最小整数
  50=1*1+7*7=5*5+5*5。
51:第六个莫茨金数。
  没有图还真不好解释,举个例子吧,架桥,宽n单位的水面,每单位宽度上要架一段桥,“桥段”有三种,上坡,平路,下坡(当然专业一点可以叫做三个向量(1,1)、(1,0)、(1,-1)),三个要求,第一,整座桥不能断开,是一条折线,第二,桥的两端高度都是0,也就是上坡和下坡数量要相等,第三,整个桥面要在水的上方,纵坐标永远不能小于零。非轴对称的翻转所得也计入,这样宽n的水面能造的桥的种数就是第n个莫茨金数。51第六个莫茨金数,是前十个莫茨金数是:1,2,4,9,21,51,127,323,835,2188。
52:第五个贝尔数。
  贝尔数:把n个不同的物品分成任意组,每组任意个,总共的分法种数,就是第n个贝尔数。比如1、2、3三个物品,可以有((1),(2),(3))、((1),(2,3))、((1,2),(3))、((1,3),(2))、((1,2,3))这样五种分法,于是第三个贝尔数就是5,而条目说第五个贝尔数是52。前十个贝尔数是1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975。
53:唯一一个十进制与十六进制写法相反的两位数。
  十进制的53,写成十六进制是35,也就是3*16+5=53,这样的两位数只有这一个。
54:可用三种方式表示成三数平方和的最小整数
  54=1*1+2*2+7*7=2*2+5*5+5*5=3*3+3*3+6*6,这一条跟前面50那一条还是有密切联系的。
55:斐波那契数列里最大的三角数。
  这两个名词分别在8和33里解释过,不再重复了。
56:五阶正规化拉丁方的个数。
  n阶拉丁方,是指一个n*n的方阵,里面的元素有n个1,n个2,……,n个n,也就是从1到n各n个,而且要求相同的数字不共行不共列,那么也就是每行、每列都是由1,2,……,n构成的。而这样交换一下各行各列的顺序就会出现很多拉丁方,比如说四阶拉丁方就有576种。如果要去除这些重复,就要引入正规化的概念,正规化拉丁方,就是指首行首列都是按从1到n的顺序排列的。这样,四阶正规化拉丁方只有四个,而这里条目说的是五阶正规化拉丁方有56个(五阶拉丁方总共有161280个~~~)。
57:转换成七进制为111。
  1*7*7+1*7+1=57。
58:四阶交换半群的个数。
  前面说过了,我也不是太懂,简单看了一下,就是说,有一些元素和一种二元运算(就是两个元素进行这种运算得到另一个元素),如果这种运算满足结合律,这个系统就叫半群,如果还满足交换律,这就叫交换半群,而四阶就是指四个元素。于是这里说,四阶交换半群有58个。
59:星形二十面体的个数。
  这里的二十面体是广义的,因为星形多面体大多不是凸多面体。这里二十面体是指整个立体所有的面分布在二十个平面上,同时还有其他几条要求,首先所有的小面要全等,第二,对于20个面中的每一个面,上面的形状要三次对称(就是绕对称中心旋转120度所得形状不变,亦即旋转360度出现三次相同形状,而中心对称实际就是二次对称),第三,所有的部分都要在立体的外侧,第四,能分成两部分,每部分各自有完整对称性的,不计入。以上这五条都满足的星形二十面体,总共有59个。
60:能被从1到6每个数整除的最小整数
  60的约数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60,我们必须承认,我们在时间上所采用的六十进制、二十四进制都是约数很多,很方便进行分配的数字,必须感谢我们的先贤。
61:第六个欧拉数。
  这个欧拉数可不好解释了。第n个欧拉数,就是正割函数(sec x)泰勒展开式的n次项系数的分子,其中分母是n!。我觉得啊,既然前面连什么是质数都解释了,这里也就没什么必要把泰勒展开的过程说一遍了,简单理解也就是把一个函数展开成非负整数次项组成的多项式函数。第奇数个欧拉数都是0(也就是展开式里没有奇数次项),第0、2、4、6、8个欧拉数为1、1、5、61、1385。
62:可用两种方式表示成不同三数平方和的最小整数
  前面54可以用三种方式表示成三数平方和,但那里有两种中都有相同数字。而62=2*2+3*3+7*7=1*1+5*5+6*6,三个数都是不同的。
63:五元素偏序集的个数。
  嗯,这个彻底不懂啦。好像,大概意思吧,就是说一共有5个元素,组成一个集合,这集合里有一个关系,类似于实数里的小于等于,满足三个条件:第一,a<=a;第二,如果a<=b且b<=a,则a=b;第三,如果a<=b且b<=c,则a<=c(这里<=指的是这种关系,不是实际意义上的小于等于)。有这样的关系,连集合带关系这个整体就叫做偏序集。
64:拥有七个约数的最小整数
  完全平方数拥有奇数个约数,其他的数拥有偶数个约数。64的约数有1、2、4、8、16、32、64。
65:与反写数相加相减都得到平方数的最小整数
  65反过来写是56,65+56=121,是11的平方,65-56=9,是3的平方。有这样特性(再感叹一句,这么稀奇古怪的特性都谁研究出来的~~~)的整数65最小。
66:八钻图案数。
  可以参见43那条,这里是说八钻图案一共66种。不过这里的八钻图案数指的是旋转、翻转都不计入的情况,含翻转的八钻图案一共有121种。
67:五六进制下均为回文数的最小整数
  67五进制下为232,六进制下为151,都是从左往右看和从右往左看数字不变的回文数。
68:圆周率π中最后出现的2位数字符串。
  举个例子吧,圆周率前几位3.14159265358979323846264338327950288,出现的2位数字符串依次有14、41、15、59、92、26、65、53、58、89等等,π是无限不循环小数,所有的2位数早晚都要出现的,而最晚出现的2位数就是68。
69:平方与立方恰由从0到9十个数字组成。
  69*69=4761,69*69*69=328509,恰好包含从0到9每个数字各一个。
70:过剩数中最小的不等于部分约数和的数。
  过剩数参见12。不含本身的所有约数和比原数大,而有些过剩数如12=1+2+3+6=2+4+6,18=1+2+6+9=3+6+9,可以写成部分约数的和,而70就是不能写成部分约数和的过剩数中的最小的一个(显然,不足数都不能写成部分约数和~~~)。
71:能整除小于它的所有质数的和。
  小于71的质数的和为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67=568=71*8。
72:六维空间中一个六维球周围最多的等球数。
  我的理解可能会有错误,如果没错的话,下面就来解释一下。在任意维的空间中,球的概念就是到某个点距离一定的所有点的集合。一维球大概就是两个点,二维球是圆。拿二维举个例子,一堆等圆(就是大小一样的圆)放在一起,互不相交(可以想象大家都是固体的圆片),那么每个圆最多能与六个圆相邻,三维的情况下就是指把一堆乒乓球放在一起,每个乒乓球最多与多少个乒乓球相邻,而结论是12个。推广到六维空间,这个数字就增大到72。
73:除1以外比反写数的两倍小1的最小整数
  73反写为37,37*2=74=73+1。这样的数最小的是1,其次就是73。
74:顶点数最少的不同非汉密尔顿多面体的个数。
  这个偶也是大概地理解一下,说不定是错的。汉密尔顿多面体,就是说存在一个汉密尔顿环,由多面体上的部分棱组成闭合折线,经过多面体所有顶点,但只经过一次(也就是从一个顶点出发,经过每个顶点各一次最后回到出发点)。而不能用这种方式连接所有顶点的多面体,就是非汉密尔顿多面体,这样的多面体中,顶点数最少的,一共有74种不同形状。
75:允许并列的情况下四个物品的排序种数。
  举个例子,就是说四个选手比赛,比了一大堆,最后如果允许有并列,那么所得的比赛结果一共可能有75种。其中分出一二三四名的有24种,有一对并列的有36种,两对分别并列的有6种,有三个人并列的有8种,四个人彻底并列的还有1种,24+36+6+8+1=75。
76:自守数。
  一个数k,如果n*k*k的尾数为k,则k称为关于n的自守数。关于1的自守数简称为自守数。也就是说自守数的平方尾数是原来的数。76*76=5776,自守数有1、5、6、25、76、376、625等,除1以外,所有的自守数都以5、6结尾,而且5、6两系列中后面的数都以前面的数结尾,如6、76、376、9376。
77:不能写成倒数和为1的不同整数的和的最大整数。
  举个例子,1/2+1/3+1/6=1,2+3+6=11,11就能写成倒数和为1的不同整数的和。而有些书就不能写成倒数和为1的不同整数的和,77是其中最大的数。
78:可用三种方式表示成不同四数平方和的最小整数
  这个跟前面的62很有关系,78=2*2+3*3+4*4+7*7=1*1+4*4+5*5+6*6=1*1+2*2+3*3+8*8,每组四个数都是不同的。
79:可交换的质数。
  好像是说,79是质数,97也是质数。这样的2位数的质数还有11、13、17、37(只列出较小数字在前的)。
80:本身和本身加一都是四个以上质数乘积的最小的数。
  80=2*2*2*2*5,81=3*3*3*3,两个数分解质因数都能分出4个以上的质数,这样的相邻数里最小的就是80和81(因为2和3的差距,奇合数质因数往往比附近的偶合数少)。
81:数字和的平方。
  8+1=9,9*9=81。
82:六连六边形的个数。
  类似前面的六连块,这里单位变成正六边形,旋转、翻转所得不计入,六连正六边形有82种,如果计入翻转则有147种。

 
2008-04-17 下午 1:16

这是雪山飞狐在译言翻译的名为What's Special About This Number? 的一部分。原文只是列出了各条特别之处,译者对于其中的一些名词尽量深入浅出的做了解释,争取让所有人能够看懂。小凡适量作了删节。

0:加法不变,即0+x=x+0=x
1
:乘法不变,即1*x=x*1=x
  这两条看似简单,但实际上,这是实数域作为线性空间的必要条件。通俗地说就是,线性空间中需要有两个元素,一个加了白加,一个乘了白乘,在实数这个线性空间中,分别是01
2
:唯一的偶质数。
  质数:除1和该数本身之外无其它约数的数。质数有无穷多个,百以内质数有:2357111317192329313741434753596167717379838997。由于比2大的偶数都有约数2,所以它们都不是质数,亦即2是唯一的偶质数。
3
:我们生活的空间的维数。
  也就是传说中的三维空间,点是零维的,线是一维的,面是二维的,体,或者说空间,是三维的。
4
:足够为平面地图上色的最少颜色数。
  这就是著名的四色猜想,即平面地图上有不同的一片一片区域(比如世界地图上的不同国家),对于相邻的区域要用不同的颜色上色,四色猜想说,只要四种颜色,就能按这种要求为任意复杂的平面地图上色,该猜想20世纪被计算机证明,故也称四色定理。
5
:柏拉图立体(正多面体)的个数。
  正多面体,是指各个面都是全等的正多边形并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。数学上由多面体欧拉定理等都可以证明,正多面体只有五种,分别是正四面体、正六面体(即立方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体。
6
:最小的完美数。
  不包括本身的所有约数的和等于该数本身,比如6的约数有1236,其中1+2+3=6。完美数很少,并且至今没有发现奇完美数。
7
:边数最少的尺规作图无法做出的正多边形。
  高斯作出正十七边形尺规作图法时也给出,尺规作图能做出的正多边形的边数只能是任意个2与任意个不同的费尔马质数连乘的乘积(这里任意个均可以为0个),这样百以内尺规作图能作的正多边形边数为3456810121516172024303234404851606468808596,而正七边形无法由尺规作图作出。(费尔马数:2^(2^k)+1,其中的质数称为费尔马质数,有351765537等)
8
:斐波那契数列中最大的立方数。
  斐波那契数列:由01开始,之后的每个数都等于前面两个数的和,即011235813……,其中8是最大的立方数,也就是说8以后,斐波那契数列中不再有立方数。
9
:任意正整数表示成整数立方和形式至多需要的立方数个数。
  也就是说,任意一个正整数,都能表示成为最多9个数的立方和。
10
:我们的数系的基数。
  也就是说我们常用的是十进制。
11
:正整数数字连乘归个位所需最多步数。
  把一个正整数的各位数字连乘,得到一个新的整数,再对这个整数的各位数字连乘,以此类推,直到只剩一位数字为止,比如98769*8*7*6=30243*0*2*4=0,至此只剩一位数字,9876的这个过程一共有2步,而现在发现,正整数最多经历11步就能达到只剩一位数字。
12
:最小的过剩数。
  不包括本身的所有约数的和大于该数本身,12的约数有12346121+2+3+4+6=16>12,从而12是过剩数。较小的自然数中过剩数并不多,20以内只有1218两个,再除去完美数6,其它的都是不足数,但很大的自然数几乎都是过剩数,确实很过剩
13
:阿基米德立体(半正多面体)的个数。
  半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体,共有13种。
14
:满足如下条件的最小的n:没有一个整数n个小于它的整数互质。
  互质,就是指两个数的最大公约数为1,也就是在两个数的所有约数中,只有1是共有的。比如20,在比它小的数中,它与379111317197个数互质,比如21,在比它小的数中,它与245781011131617192012个数互质,而有一批数n,所有的数都不会恰好与比它小的n个数互质,也就是或者比n多,或者比n少,这些n就是不可能的个数。而在许许多多的n中,14是最小的一个。

15:仅有一个有限群的最小合阶数。
  这个我也不懂啦,我们当初学线性代数的时候也没讲群论,反正简单地看了一下,大概就是说,阶数,就是有限群里的元素的个数,而对于某些阶数,比如24,一共有15个有限群,而对于另外一些阶数,就只有一个有限群,质数阶数好像都是这样的,而合数里面,最小的一个具有这个性质的阶数,就是1515阶有限群只有一个,就是C15
16
:唯一一个能满足等式x^y=y^x整数,其中xy是不相等的整数。
  (x^y表示xy次方~~~xy相等的时候,显然有x^y=y^x,而xy不相等的时候,只有2^4=4^2=16这唯一一个整数解,也就是2*2*2*2=4*4=16
17
:平面对称群组(墙纸群组)的个数。
  这个我也不是太明白,看了看大概就是说,忽略二维墙纸的细部颜色形状细节,只考虑小图案的平铺方式,每单位以若干正多边形组成的,不多不少一共有十七种。
18
:唯一一个等于各位数字和两倍的整数
  18=2*(1+8),这个解释最短啦~~~
19
:任意正整数表示成整数四次方和形式至多需要的四次方数个数。
  类似于前面9的那条,至多需要19个数,它们的四次方的和可以是任意一个整数
20
:六顶点有根树的个数。
  树是网络图论中的一个概念。图,大致就是常见到的那种组织结构图的样式,其中的点叫做顶点,顶点之间有连线,就是这一类图。所有的图当中,树是指其中满足以下条件的那一部分图:整个树是连通的,而且其中没有环路。而有根树,就是树中有一个顶点是根,根的位置不同可能树就不同,总结起来以上的意思就是,三个顶点的有根树,有两种。而这个条目是说,六个顶点的有根树,有20种。

21:用不同的小正方形拼大正方形至少需要的个数。
  用几个数的平方和凑另一个数的平方很简单,勾股定理,只要两个就可以;用相同的小正方形拼大正方形,这个干脆一点难度都没有,4个,9个,16个,都行;但是要用两两不同的小正方形拼成一个大正方形,就不是那么简单了,至少需要21个不同的小正方形才能做到。(勾股定理跟这个两码事,3*34*4不可能拼成5*5
22
8的划分的种数。
  把一个正整数拆成若干个正整数的和(若干个也包括一个,也就是这个整数本身),称为一种划分,比如4=3+1,这就是4的一种划分,4=2+1+1,这就是4的另外一种划分,除此之外还有4=44=2+24=1+1+1+1,总共是5种划分,也就是把四个相同的东西放到若干个相同的盒子里,一共有5种放法。上面说的是45种划分,而条目说的是8,有22种划分。
23
整数边小长方体不共棱拼成大长方体至少需要的个数。
  小长方体拼成大长方体很简单,但是这里要求不共棱,也就是说,每个小长方体的12条棱,所有这些小长方体所有的棱没有任何两条是完全重合的(简单想象一下就知道了,这个很困难的)。那么用边长是整数的小长方体,以这种不共棱的形式拼成大长方体,至少需要23个。

24:能被平方根以下所有整数整除的最大整数。
  平方根常会用在判断质数的场合,如果一个数不能被平方根以下1以上的所有整数整除,那么这个数就是质数。不过这里说的这个事情与之完全相反,能被平方根以下所有整数整除,24的平方根在45之间,而24能被1234每个数整除,可以认为是天下最合的合数,在所有这样的合数里,24是最大的一个,其它的还有46812
25
:能表示为两数平方和的最小平方数。
  也就是勾股定理里最小的一组,3*3+4*4=5*5=25
26
:唯一一个恰巧夹在平方数与立方数之间的数。
  255的平方,而273的立方。像这样被夹在中间的,只有26这一个数。
27
:等于自己立方的数字和的最大的数。
  27^3=196831+9+6+8+3=27,这样的数里27是最大的。这样的数还有181718
28
:第二个完美数。
  完美数参见前面6那一条,第三个完美数就要到496了。目前发现的完美数都是以68结尾的。
29
:第七个卢卡斯数。
  卢卡斯数就是以13为前两项的斐波那契数列,前十项为13471118294776123
30
:与所有小于它的合数不互质的最大的数。
  原来条目说的是,所有既比它小又与它互质的数都是质数,逆否命题,一回事。对于30,这些质数就是711131719232930拥有三个小质因数235,因此与30互质的最小合数是7*7=49。这种数里30是最大的,其它还有3468121824
31
:梅森质数。
  梅森质数就是(2^n-1)形式的质数,即二的n次方减一,这样的质数有37311278191等。梅森质数虽然不像费尔马质数那样只有前面几个,但也同样稀缺,发现一条新闻,长达七百八十万位的数“225964951次方减1”被发现是质数,而这仅仅是第四十二个梅森质数。
32
:除1以外最小的五次方数。
  2*2*2*2*2=32
33
:不能写成不同三角数和形式的最大整数
  先来说三角数。一个点阵,第一行一个点,第二行两个点,以此类推,每行比上一行多一个点,也就是第n行就有n个点(可以想象成跳棋里放棋子的那个区域)。前n行,组成一个三角形,那么这个三角形里所有的点的个数,就是第n个三角形数。也就是说,第n个三角形数,就等于1+2+……+n,等差数列求和,n*(n+1)/2。于是三角数有136101521等。比较大的整数,都能拆成若干个不同的三角数的和,而比较小的整数里面有一些就不能,而这些不能这样拆的书里面,最大的是33
34
:与相邻数约数一样多的最小整数
  33的约数有13113334的约数有12173435的约数有15735,一样都是四个约数,像这种与邻居约数个数相同的数,34是最小的一个。
35
:六连块的个数。
  这个名字我自己起的,也不知具体该叫什么,反正这个连块就是说,1*1的小正方形,n个连在一起。比如说最普通的俄罗斯方块,那里的每个单位就是一个四连块(俄罗斯方块叫Tetris,四连块叫做Tetromino,另外二连块就是传说中的Domino(多米诺))。不考虑旋转和翻转的,称为free,这样四连块一共有5种。只考虑翻转,不考虑旋转,称为one-sided,这样四连块一共有7种,这就是俄罗斯方块里的七种方块(因为游戏里只能旋转不能翻转)。既考虑翻转又考虑旋转,称为fixed,这样四连块一共有19种(并不是四七二十八,因为有的方块是中心对称的,2*2甚至是四方对称的)。这说的是四连块,而这个条目是说,既不考虑旋转又不考虑翻转,也就是free的情况下,六连块一共有35种(还记得中学的时候亲自画过的,很不容易呢)。这个数字增长也很快,都是free,七连块有108种,八连块有369种。
36
:除1以外既是平方数又是三角数的最小整数
  36=6*6=1+2+3+4+5+6+7+8
37
:任意正整数表示成整数五次方和形式至多需要的五次方数个数。
  类似于前面919那两条,最多37个五次方数就能累加成任意一个正整数。发现一个小规律,9=8+119=16+337=32+5,不知道前面和后面还满足不满足。
38
:按字母顺序排列时排在最后的罗马数字。
  罗马数字中I1V5X1038写成罗马数字是XXXVIII,把从1到无穷所有的罗马数字放在一起,按照字母顺序abcd排列(原条目用的词是lexicographically,意为字典编纂地”~~~),前一位相同就看下一位,最后排下来,所有的数里这个XXXVIII是排在最后的。(为了这个条目研究了一上午,突然灵光一闪研究明白了~~~
39
:可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数
  前面22里提到过划分,这里是说,一个数,它的三种划分,每种划分都得到了三个小整数,三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数,39是最小的。Excel之,偶终于找到了这三种划分,39=4+15+20=5+10+24=6+8+254*15*20=5*10*24=6*8*25=1200
40
:唯一一个字母按字母顺序排列的数。
  就是说40的英文forty这五个字母是按照字母表的先后顺序排的,英文表示的那么多数,这样的数只有40这一个。
41
:一个有如下特性的n值:使得x=01……n-2时,都有x*x+x+n是质数。
  就是说现在n等于41,那么x等于从039任意一个数时,x^2+x+41都是质数(4143475361718397等,这是一个两项之间的差为等差数列的数列)。x=40时,这个值就会达到41的平方,不再是合数。要知道质数的分布几乎是找不到规律的,能把40个质数统一在一个式子里是很不简单的事情。
42
:第五个卡塔兰数。
  连出正方形的一条对角线,那么这条对角线就把原来的正四边形分成了两部分((4-2)部分),这里要考虑到旋转,所以另一条对角线算是另一种方法,于是把正四边形分成(4-2)部分的方法一共有2种。把一个正(n+2)边形用顶点之间互不交叉的连线分成n个部分,旋转、翻转所得也都算进去,总共的方法数就是第n个卡塔兰数。前面说的2,就是第二个卡塔兰数,而易知,第一个卡塔兰数是1,也就是把正三角形切成一块的方法数。这里说的是,42是第五个卡塔兰数,就是说,把正七边形用顶点间不交叉连线分成5部分,一共有42种分法。前十个卡塔兰数:12514421324291430486216796
43
:含翻转七钻图案数。
  前面提到过六连块,那是在拼正方形,现在每个单位变成正三角形,七个正三角形,翻转计入,旋转不计入(这叫做sided 7-iamonds),一共有43种拼法。
44
5件东西完全放错位置的情况个数。
  就是说,原本的顺序是12345,现在还是这5个数排在一起,但每个数字都不在自己原来的位置,这样的情况一共有44种。也就是说,一共5位的猜数字游戏,会出现0A5B的猜法一共有44种。
45
:雷劈数(卡普利加数)。
  卡普利加数是指,如果一个n位数x,把它的平方从中间切开,后面得到一个n位数,前面得到一个n位数或n-1位数,这两个数相加得到原来的数x,那么x就是卡普利加数。45*45=202520+25=45。据说这种数是当初数学家卡普利加在暴风雨后看到路边的里程碑被雷劈成两半,一半写着30,一半写着2530+25=5555*55=3025。前几个卡普利加数是19455599297703
46
:不含翻转旋转九后问题解法个数。
  n后问题是指,把n个国际象棋里的后,放在n*n的正方形棋盘上,要求这些后两两不能互相攻击(不共横线,不共竖线,不共斜线)。普通的国际象棋棋盘上的八后问题有12种解法,这里说的9*9棋盘上的九后问题则有46种解法。这里经过旋转、翻转得到的解法都不计入。
47
:不能连加为一个立方数的立方数最大个数。
  这种句式就是比较别扭,解释一下。费尔马大定理中指数为三时,有a^3+b^3=c^3没有正整数解,这就是说,两个立方数不可能相加成为一个立方数。或者说,一个立方数不能写成两个数的立方和。这个条目说,有这样一些数n,一个立方数不能写成n个数的立方和,前面说的2就是其中的一个,而这些数里面最大的n47
48
:拥有10个约数的最小的数。
  48的约数有12346812162448
49
:与相邻数都是倍平方数的最小整数
  Squareful,这里自己起了个名字叫倍平方,就是说这个数或者是完全平方数,或者是完全平方数的整数倍(当然本身也是本身的整数倍啦~~~)。49=7*748=2*2*2*2*350=2*5*5,链接里把Squareful解释为至少有一对相同的质因数,与前面说的是一个意思。

 
 
   
 
 
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保护环境,人人有责~~
 

做徘徊在地球与太阳中间的天狼星也是不错的安排。
 
 

上面那俩椭圆在干什么?
 

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