美国科学家在对人类认识能力的研究中发现，让一个只有6个大有婴儿看几幅不同的女性照片时，婴儿会长时间地盯住其中那幅最漂亮的女性的照片看并开心地笑，而让他看比较丑的照片时，他不仅不爱看甚至会哭啼。当然，这里所谓的“漂亮”、“丑”是以已经有了一定的审美能力的成年人的标准来说的，当然也是符合形式美的标准的。这里就出现了一个问题，刚刚出生几个月大的婴儿为什么会与成年人（受过各种教育）在对形式美的选择上是同样的？这是不是说明了的确存在某种对人类来说永恒的、不以人的意志为转移的一些最基本的标准支配人的审美活动？如果存在的话，它对似乎已经被学术界公认为是无法解决（或者说是无效问题）的美学的千年难题——美的本质问题——的讨论，会有什么样的启发？本文试图通过对同样在历史上被认为是一个“神秘”现象的“黄金分割”（golden section）比例问题的分析，对这个题目加以探讨。
在展开探讨之前，当然先要对什么是“黄金分割”做一个简单介绍。所谓“黄金分割”，是指在已知线段上求作一个点，使该点所分线段的其中一部份是全线段与另一部份的比例中项，这就是黄金分割，用公式表示为：A:B =（A + B）:A，用数字表示即：1:0.618。在矩形、圆形、螺旋形、三角形、五角星形、正十边形、二十边形中都有这一神奇比例。

一、自然界无所不在的神奇比例
随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。
先说植物。在植物中，无论是挺拔魁梧的乔木还是矮小秀雅的灌木，它们所形成的直的或横的长方形常常接近黄金分割比例。诸如牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大致接近于黄金分割。在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是137°28´，这恰好是把圆周分成1：0.618的两条半径的夹角。据研究发现：这种角度对植物通风和采光效果最佳。叶子也是一例，树叶的排列是建立在能充分获得光合作用面积和采集更多阳光这一基础上的。如车前草，有着轮生排列的叶片，叶片与叶片之间的夹角为137°30′，同样也是圆的黄金分割的比例。梨树也是如此，它的叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。辐射对称的花及螺旋排列的果，它们在数学上则符合黄金分割的规律。事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜、芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契[1]序列中的相邻数字。
动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39℃，这一温度正是水的液态范围0--100℃，两个黄金点（0.618）之一，即38℃左右。那么，动物体温为什么不在另一个黄金点62℃左右呢？这是因为，自从宇宙大爆炸以来，伴随着整体的增熵过程还有局部的减熵过程。太阳的形成、生物的进化，都是一个减熵过程，这一过程包括着生物体温从低温向高温进化。因此，生物首先进化到了第一个黄金38℃，这是自然的发展过程。
经过多年的总结分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）、15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。人的面部就包含多个“黄金矩形”，如眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸。她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1。由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。）亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。
除了这些外在的形式，人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。如：气温在人体正常体温的黄金分割点上——23℃左右时，恰是人的身心最适度的温度；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上（如图）。组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618。静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618。我们正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例关系也都符合这一比例。还有人类的消化道总长9米，其0.618处为5.5米，正是小肠的长度，恰合黄金分割率。而营养物质的消化吸收，就在小肠进行。这一特点，适合以素食为主的混合膳食结构，素食应占食物总量的0.618。蛋白质是最重要的营养物质，它由20个氨基酸组成，人体在合成自身蛋白质时，20个的0.618，即12个氨基酸能由机体自身细胞生产，只有另外8个氨基酸要由食物来供给。这8个氨基酸含有的丰富的蛋白质称为优质蛋白质，如动物性食物和豆类。膳食结构中，优质蛋白应占总蛋白质的0.618，才能保证机体的正常新陈代谢，又恰合黄金分割率。社会科学家长期的研究与统计结果也表明, 如果人的平均寿命是70 岁的话, 那么成年时期的顶峰年龄将是45 岁, 二者的比例关系接近0.618。人在45 岁左右是最富有创造力的年龄，人们经过几十年的艰苦创业与拼搏, 可以积累出最大的精神与物质财富。人在此时最成熟, 社会阅历最丰富。可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的。最有意味的是，在人的生命程序DNA 分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋结构中都是由长 34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字，它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.6180339。这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本的东西？因为承载DNA的结构——双螺旋结构——也遵循黄金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传密码？

二、各路学者对这一现象的发现与言说
最早对黄金分割做较系统研究的是古希腊毕达哥拉斯派的数学家欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，约公元前408-355）。欧多克斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家，曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯（Archytas of Tarentum）[2]。欧多克索斯对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来。用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理数。其次，改变“比”的定义为：“比”是同类量之间的大小关系。从这一定义出发可以推出有关比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个大突破。其创立之比例论，成为欧几里得《几何原本》，特别是其中五、六、十二卷的主要内容。
系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得（Euclid，公元前330-275年）的《几何原本》（Elements），在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的问题，在第二卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法，其中写道：“以点H按中末比截线段AB，使AB∶AH＝AH∶HB”将这一式子计算一下：设 AB＝1， AH=x，则上面等式18，点H是AB的黄金分割点，0.618叫做‘黄金数’。”
之后，是12、13世纪欧洲数学界的代表人物、意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-1250）。斐波那契生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布尔日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。1200年左右回到比萨，潜心写作。他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（Liber Abaci，1202年完成，1228年修订），其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。题目是一个不超过105的数分别被 3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。解法和《孙子算经》一样。另一个“兔子问题”也引起了后人的极大兴趣。题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子？这导致了著名的“斐波那契数列”的产生： 1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项之和。它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。
意大利数学家、会计学的创始人卢卡·帕乔利（Luca Pacioli，1445-1517）对这个问题有进一步的研究，在他的著作《神圣比例》（De Divina Proportione，约1497年写于米兰，1509年出版于威尼斯）中，首先称这种神奇比例关系叫做“黄金比率”（golden ratio），这部用意大利文写成的著作包括三卷：第一卷是“神圣比例概要”（Compendio de divina proportione），文中论述“黄金分割”的性质，帕乔利称之为“神圣比例”，即分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项，亦称中末比，该卷包含欧几里得几何中与黄金分割有关的部分概述，以及正多面体和半正多面体性质的讨论；第二卷是“论建筑学”（Tractato de l’architectura），基于古罗马建筑学家维特鲁维（Pollio Marcus Vitruvius，活动于公元前46-30年）的《建筑十书》[3]（De Architectura Libri Decem）而成，为此增加了罗马数字表示正比例的论述；第三卷是“比例论”，是弗兰切斯卡比例论著的意大利译本，“神圣比例”一词的创用使人们对“黄金分割”产生顶礼膜拜的心境。在该书中，这位方济各派的修士说：“所有度量及其单位都可以在人体找到根源，我们可以发现所有的上帝用来揭示自然界内在奥妙的比率和比例。”
帕乔利是文艺复兴时代文化巨匠达·芬奇的挚友，达·芬奇本人也是一位对科学有广泛研究的学者，他对人类身体的各种比例进行了具体测量，1409年，根据维特鲁维之理论创作了《人体比例图》（Study of Human Proportions According to Vitruvious）。而在《论绘画》一书达·芬奇指出：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上，各特征必须同时作用，才能产生使观众如醉如痴的和谐比例。”在这一时期，艺术家们自觉地被黄金分割的魅力所诱惑而使数学研究与艺术创作紧密地结合起来，并对后来的形式美学与实验美学产生了巨大影响。
黄金分割出现在达·芬奇的许多著名作品中，如《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰罗姆》（Saint Jerome）中，该画约作于公元1483年。在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加的黄金矩形内。应当认为这不是偶然的巧合，而是达·芬奇有目的地使画像与黄金分割相一致。因为在达·芬奇的著作和思路中，处处表现出对数学应用的强烈兴趣。达·芬奇说过：“没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径。”
无独有偶，与达·芬奇并称文艺复兴三大巨匠的米开朗基罗、拉斐尔的著名作品中也屡屡出现这一黄金比例。
此外,欧洲许多著名的科学家、哲学家都对这个问题发表了真知灼见。德国天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630），曾经说过：几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理；另外一个就是黄金分割。前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。法国著名的哲学家、数学家笛卡尔（René Descartes，1596-1650）曾研究过花瓣和叶形的曲线，发现了现代数学中有名的“笛卡尔曲线”。
黑格尔的学生、德国数学家阿道夫·蔡辛（Adolf Zeising，1810-76）在1854年和1855年分别发表了《人类躯体平衡新论》(Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers)和《美学》(Die Ästhetik)，这两本书正式提出了“黄金分割原理”（The principle of golden section），并进行了理论阐述。[4]他对人体进行了大量测算，发现人的肚脐正好是人体垂直高度的黄金分割点，膝盖骨是大腿和小腿的黄金分割点，肘关节是手臂的黄金分割点。蔡辛还研究了古代一些著名建筑、雕塑和绘画中的比例问题，要求对建筑各部分的比例，用严格的数学方法加以计算，以达到整体结构的严整与和谐。他断言：宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美的形体。并运用归纳法导出结论说，黄金分割是解开自然美和艺术美奥秘的关键。
德国哲学家、美学家、心理学家古斯塔夫·西奥多·费希纳（Gustav Theodor Fechner，1801-1887）曾进行实验美学的尝试，把黄金分割原理建立在广泛的心理学测试基础上，将美学研究与自然科学研究结合在一起，引起广泛的注意。费希纳和伍得特（Wilhelm Wundt，1832-1920）把黄金矩形（宽长比率约为0.618）当成科学心理学这个新领域中首批研究的对象之一。1876年，他们将10个不同比例的白色矩形摆放在一张黑色的桌子上，问受试者哪一个从美学角度讲看起来最令人舒服。35%的受试者表示喜欢边长比符合黄金比率的矩形。40%的受试者选择了接近于这个比率的矩形。而没有任何人将黄金比率选作是最不喜欢的比率。之后，费希纳又测量了22家博物馆和艺术长廊的2万张绘画作品，收集了数据，但是发现黄金比率并不和这些名画的高、宽比率有绝对相关。但是，生活中越来越多的例子说明这种神奇比例的无处不在与对人的心理的支配作用。

三、黄金分割在艺术与现实生活各个领域中的应用
既然“黄金分割”对人类的审美标准有如此重要的影响，就不难理解为什么艺术家、建筑家、设计师等在自己的艺术与设计中总是钟情于它的应用了。“黄金分割”无论在古代还是现代世界的艺术乃至实用品中的普遍应用不胜枚举。
首先以建筑艺术为例，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、古埃及胡佛金字塔、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面, 都有意无意地运用了黄金分割的法则, 给人以整体上的和谐与悦目之美。
例如，法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8∶5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。
希腊人建筑上所用的柱子，和符合“黄金分割律”的人身一样，有着一种节奏性的和谐，柱头和柱身的比例也是一比七。“黄金分割律”在线条、面积、体积上的体现则比较明显，古希腊人运用的也最多。他们的“黄金分割点”十分有名。面积上以长方形为最美，且长方形的边长和高的比例是七比一。在立体建筑物方面，如台阶、窗门，以及整个建筑的高低比例都符合“黄金分割律”，即七比一。古希腊神殿的柱子有所谓“科林斯柱式”（Corinthian），柱头和柱身比例是一比七，这些高耸的柱子和神像的高度之间的比率也是七十比十。柱身中段略肥，两端瘦削，这也取材于人体体态上的美趣。
在现代建筑中，许多著名的大建筑师都在他们的设计中运用“黄金分割比”，如米斯·凡·德洛（Ludwig Mies Van der Rohe，1886-1969）的别墅，勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965）朗香教堂（La chapella de Ronchamp)等。而在一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。
中外历代雕塑更能说明问题。与前面提到的《米罗的维纳斯》一样，古希腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长,到后期又确定为8个头长。同时,几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。如希腊雕塑的典范作品《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例关系的探索和应用。
中国佛教造像对规格尺寸和比例也十分讲究，因为十方诸佛均具有三十二相，八十种随形好，经过无量劫修菩萨行，终成无上正等正觉，故具有凡夫所不能有的殊妙庄严，上至肉髻、螺发，下至足底***纹样，佛身的每一处都有一定的尺寸比例，如浙江天台山的佛教造像就是一例：诸佛佛像的全身总长度（自肉髻顶端至脚踵根）共可分成120等分，由肉髻顶端至腰部为48等分，由腰部至足跟底为72等分。以全身总长度和腰以下部分相比，为1：0.6，这个比例与“黄金分割率”极为相近，说明诸佛的体态符合世界公认的最完美的比例。
就像在建筑与雕塑中一样，神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（Holy Family）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。拉斐尔的《刑罚》（Crucifixion）是另一著名例子，其人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。这方面的例子还有伦伯朗的《自画像》、透纳的《日出中的诺城堡》（Norham Castle at Sunrise）、修拉的《阅兵》（La Parade）、《浴者》（Bathers）。现代绘画中超现实主义画家达利（Salvador Dali，1904-1989）的《最后的圣餐》（The Sacrament of the Last Supper）最能说明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形”之中，而人物的布置也包含着黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包含12个符合黄金比例的五边形。
除了造型外，绘画中的混色原理也是通过比例而获得美的一种绝妙原理。两种原色调合后会产生出间色，如红与黄调和出橙色, 而这橙则根据红、黄二色所占的不同比例, 可呈现出不同的色相来。为调配出一种间色所使用的两种原色当然不是等量的, 而人们习惯采用的调配当量往往是:
黄3—红5—青8，即:黄3+ 红5= 橙8，或者黄3+ 青8= 绿11，青5+ 红8= 紫13。这个调配量其实正符合斐波那契数列, 亦即符合黄金分割定理, 因此它所调出来的颜色就比较合适、自然, 看起来给人一种美感。至于两种间色的混合, 三种原色的混合, 间色与黑色的混合, 原色与黑色的混合, 原色与其补色的混合, 这一切所产生的复色, 尽管其中的比例要更为复杂, 但只要找出其各自的符合黄金分割的比例来, 就不难达到令人满意的程度。
黄金分割在优美的音乐和诗歌中同样可以找到。据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有关。后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“美化”其作品。典型的例子有巴赫的《神游》D小调中7对间奏和沃兹涅先斯基的诗《戈雅》中的叠句。
除了在艺术中外，“黄金分割比”在日常生活中也有广泛的应用。例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。甚至在买卖股票的操作中也能以黄金分割线作为指导（股价极容易在由0.382，0.618，1.382，1.618这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力，黄金分割线与黄金分割数是不同的概念，却有着紧密的联系）。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上上的“星”都是五角形的星。
黄金分割规律还为直接最优化方法的建立提供了依据。优选法是一种求最优化问题的方法，即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少。数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。1953年，美国的基弗提出“0.618法”获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳。
在家具与室内装饰领域，意大利汤玛莎拉家具成功地将“黄金分割”运用到制作当中，达到了一种整体的和谐之美。在汤玛莎拉展厅内您可以看到地柜的长高比，地柜上小相门的长宽比都是黄金分割，对开门的下方设计有一对抽屉，抽屉的长度与柜门的高度以及整个衣柜的宽度与高度之比，也都符合黄金分割定律，这种大的黄金分割套小的黄金分割，使得整体一件家具处处都显得匀称和谐，优美雅致。由带有黄金分割设计的单家具，组合而成的成套家具，其整体的协调性与观赏性，更可以达到和谐的统一。

四、哲学与美学上的解释
现象的存在是不可否认的，各路学者的言说是解释性的，其在艺术与现实生活中的成功是屡试不爽的，那么需要解释的是：为什么对于人类来说（无论古今中外、长幼男女）“黄金分割比”都是最“美”的、首选的比例？为什么在艺术与现实生活中有意识地应用“黄金分割比”成功率高？这背后有没有什么应该从哲学的角度进行解释的东西，或许它就是中国古人所说的“道”、西方学者称之为“逻格斯”的东西，最起码它可以说是把科学中的“真”与艺术中的“美”结合得最完美的一个规律。
换言之，我们应该追问的是，是人们先发现了“黄金分割比”的普遍存在，并认识到符合这一神奇比例的生物（包括人类自身）能够得到更好的发展，对此进行了总结和有意识的应用（在艺术与生活的各种领域）之后，才会把它认作一个最美的比例呢？还是人类由于自身的生理结构中天生地包含着这种神奇比例关系，并且因为它符合进化论的选择，所以本能地就喜欢符合“黄金分割比”的事物，认为它是最美的比例形式呢？也就是说，符合“黄金分割比”的图形是一种“美”形式，这是一种理性认识和理论概括的结果呢？还是由于人的心理——生理同构而先天就具有的（写入人的DNA密码之中）的喜好呢？如果是前者的话，那么如何解释6个月大的婴儿就已经习得了这种审美经验而喜爱选择符合这种审美标准的面孔这样的事实呢？
这里面就牵扯到了进化的问题，当我们发现植物的造型中屡屡隐含着“黄金分割比”时，并非植物懂得斐波那契数列，而按照它生长，它们只是按照自然的规律才进化成这样。因为进化是优胜劣汰的自然选择，植物采取这种“优化方式”的造型（如叶子的生长方式等），才能更有利于生长。可见，我们所感到的自然秩序中的“美”比例是来源于生存竞争和优化选择的。人类在进化过程中也是经过了不断的弱肉强食、优胜劣汰的竞争而成为天之骄子的，从今天人类从外貌形体到生物生理因素（心跳、血压、脑电波、体温、体液与体重、DNA结构等方面）都暗含这一比例，说明了“黄金分割比”是人类在进化过程中自然选择的结果。换言之，人类在逐渐适应自然环境过程中，通过自然选择采取了有利于其进化发展的“黄金”比例形式（植物、动物也一样）。
古代哲学家已经注意到了这个问题，古希腊毕达哥拉斯学派提出“美就是比例和谐”，可见并非凭空断言，而是以该派对包括“黄金分割”在内的数学研究为基础的，而这显然又是以他们长期对自然与人类的观察研究为基础的。另一位古希腊哲学家普罗泰格拉（Protagoras，公元前481-411年）的名言“人是万物的尺度”也隐含了人是自然界进化最为完美的特种的意义。尤其是今天从人对自身的外貌体型、生物生理结构中包含的“黄金分割比”的认识与惊奇的角度去理解，就会感到这一断言确实有着某种道理，因为自然界中包含着太多的这种我们已经知道和尚未知道的这种神奇比例。为什么人们会本能地（没有知识的婴儿是证明）感到这个比例是最美的？其实这与人类的形体进化及人体的正常发育密切相关。我们知道，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉的就是自己，从而本能地将这一神奇比例认作最美的比例，可以说是由生物、生理到文化的长期发展与积淀的后果，进而由人及物，推而广之，凡是含有这种比例的事物，就觉得它漂亮、美丽；再进一步，当艺术产生后，人们在艺术品的创作中为了获得美的效果有意识地运用“黄金比例”，同时也逐渐发现在现实生活中的其他领域，运用这一比例分割往往能取得良好的效果。
进一步说，这完全是人类千百年来审美感受积淀的结果，并非天然存在这样一个客观的规律供我们发现。现在占支配地位的宇宙论观点是大爆炸学说。它认为我们的宇宙是从一个密度极高体积极小的物质爆炸后膨胀而成的，而且我们的宇宙现在还在膨胀中。因此一定有非常基本的规律支配这个过程。这样的规律以后我们称为（我们的宇宙的）“最基规律”。这里之所以加形容词“我们的宇宙”，是保留在我们现在膨胀的宇宙之外还有其他形式的宇宙。即使以后我们还有更合理的宇宙论观点，但我们的宇宙受“最基规律”支配这种观点还是合理的。爱因斯坦的统一场理论和现在正为越来越多的人接受的弦理论就是想描述“最基规律”。“最基规律”现在我们可能还没有清楚地认识到。
从这个角度而言，是否可以说，“黄金分割”律描述的是一种基本的比例。这个比例本身也许不是“最基规律”。但我认为它一定是“最基规律”的一个参数，即“最基规律”表现出来的一种本质特性。因为我们几乎可以时时处处看到它的存在。虽然我们说“最基规律”可能还没有清楚地认识到，但作为它反映出来的一种特性的黄金分割律，我们已经认识到，至少在局部现象中或表层直观中已经认识到。
既然我们的宇宙受“最基规律”的支配，那么在其中发生、发展和消亡的万物，也一定受其支配。所谓一个东西或一类东西长足地发展或自然地发展，就是指顺应“最基规律”的发展，否则就会迅速并且不自然的消亡。因此作为“最基规律”的本质特性的黄金分割律，必然要在事物的长足发展中反映出来。例如，在许多物种中，符合或几乎符合黄金分割律的东西往往代表健康和强壮的东西。所以它们最有潜力发展下去。这里所谓的物种不仅仅指动植物的物种，也指星球和星系那样的东西。这里“几乎符合”是指物种根据外部压力做出的微小调整。因此在现实中物种遵循黄金分割律所反映出来的性质往往不是一个固定的数值0.618，而是围绕此数值的近似值。高等动植物在长期的演化（进化加突变）中也会无意识地把黄金分割律作为遗传密码编入DNA。阿米巴那样的细菌也许没有做到这一点。换句话说，只有构造复杂的物种或功能复杂的物种才可能在DNA中编入黄金分割律，从而从外部体形或内部结构和功能中反映的这种特性，才能长足地或自然地发展下去。人作为一种能反思的动物（这里的反思是指人可能以他的思想为思维对象）还能把“黄金分割律”作为一种审美的规律揭示出来。

——关于黄金分割和斐波那契数列
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。

数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
如下图，BC比AB的比率等于AB比AC的比率。如果你将每个长方形按照黄金分割率划分成一个个小长方形，并将它们的对角定点连接起来的话，就形成了一条对数螺旋线,这样，就够成了一个非常和谐的视觉效果。


黄金分割数是无理数，确切值为(√5+1)/2 ，前面的1024位为:

0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374

8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766

7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963

1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053

1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710

1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834

7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764

8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115

8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131

7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175

3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093

9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264

7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149

9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

1076738937 6455606060 5922...